Dla jakich liczb naturalnych prawdziwa jest nierówność:

[andrewhitman]

Cześć, w jaki sposób powinienem zabrać się do tego typu nierówności?
\(\displaystyle{ n! < \left( \frac{n}{2}\right) ^{n} }\)
Łatwo zauważyć, że nierówność jest spełniona dla \(\displaystyle{ n \ge 6 }\), będącymi jednocześnie wielokrotnościami \(\displaystyle{ 2}\).
Nie do końca jednak wiem jak powinienem wykorzystać indukcję żeby to udowodnić.

[a4karo]

Wsk: Niech \(\displaystyle{ a_n=\frac{n^n}{2^nn!}}\). Pokaż, że \(\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_n}}\) jest rosnący

[Math_Logic]

nierówność jest spełniona dla \(\displaystyle{ n \ge 6 }\), będącymi jednocześnie wielokrotnościami \(\displaystyle{ 2}\).

A co jest nie tak z nieparzystymi?

[Jan Kraszewski]

A co jest nie tak z nieparzystymi?

Nic

JK

[andrewhitman]

Czy poniższe rozumowanie jest prawidłowe?

Dla jakich liczb naturalnych \(\displaystyle{ n ∈ \NN}\) prawdziwa jest nierówność:
\(\displaystyle{ n! < \left( \frac{n}{2}\right) ^{n}}\)

1. dla \(\displaystyle{ n = 6, 720<729}\)

2. Jeżeli \( n! < ( \frac{n}{2}) ^{n} \), to \( (n+1)! < ( \frac{n+1}{2}) ^{(n+1)} \)

\( n!(n+1) < ( \frac{n+1}{2}) ^{(n+1)} \)
\( n!(n+1) < ( \frac{n+1}{2}) ^{n} \cdot \frac{n+1}{2} \)
\( n! < ( \frac{n+1}{2}) ^{n} \cdot \frac{1}{2} \)
jeżeli \( (\frac{n}{2}) ^{n} > n!\) i powyższa nierówność będzie spełniona dla \( ( \frac{n}{2}) ^{n} \) , to tym bardziej będzie dla \(n!\)
\( ( \frac{n}{2}) ^{n} < ( \frac{n+1}{2}) ^{n} \cdot \frac{1}{2} \)
\(2n ^{n} < (n+1) ^{n} \)
\(2n ^{n} < {n \choose 0} n ^{n} + {n \choose 1} n ^{(n-1)} + ... + 1 \)

wszystkie elementy po prawej stornie nierówności są dodatnie, sprawdzę więc czy \( {n \choose 0} n ^{n} - 2n ^{n} > 0\)

\( {n \choose 0} n ^{n} = n! \cdot n ^{n} \)
\(n! \cdot n ^{n} - 2n ^{n} = n ^{n} (n! - 2) \)
dla \(\displaystyle{ n \ge 6 , n! > 2 }\)
więc \(n ^{n} (n! - 2) > 0\)

nierówność jest więc spełniona dla \(\displaystyle{ n \ge 6.}\)

[Jan Kraszewski]

\( {n \choose 0} n ^{n} = n! \cdot n ^{n} \)

To jest bardzo nieprawda, bo \(\displaystyle{ {n \choose 0}=1}\).

a4karo dał Ci wskazówkę, czemu nie chcesz z niej skorzystać?

JK

[a4karo]

A jak bardzo chcesz indukcją, to wskazówka do kroku indukcyjnego zaczyna się tak:
\(\displaystyle{ \left(\frac{n+1}{2}\right)^{n+1}=\left(\frac{n}{2}\cdot\frac{n+1}{n}\right)^{n+1}=\red{\left(\frac{n}{2}\right)^{n}}\cdot\frac{n}{2}\cdot\left(\frac{n+1}{n}\right)^{n+1}=\red{\left(\frac{n}{2}\right)^{n}}\cdot\frac{n+1}{2}\cdot\left(\frac{n+1}{n}\right)^{n}}\)