Ograniczenie indukcji

Ze względu na specyfikę metody - osobny dział.
Math_Logic
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 73
Rejestracja: 8 paź 2021, o 20:06
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 14 razy

Ograniczenie indukcji

Post autor: Math_Logic »

Indukcja pozwala stwierdzić, że w zbiorze liczb naturalnych lub w podzbiorze zbioru liczb naturalnych ograniczonym z dołu zachodzi jakaś własność.
Czy jest opcja, aby udowodnić indukcyjnie własność w podzbiorze zbioru liczb naturalnych ograniczonym z góry?
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34128
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Ograniczenie indukcji

Post autor: Jan Kraszewski »

Math_Logic pisze: 1 sty 2022, o 19:13 Indukcja pozwala stwierdzić, że w zbiorze liczb naturalnych lub w podzbiorze zbioru liczb naturalnych ograniczonym z dołu zachodzi jakaś własność.
:?:
Każdy podzbiór zbioru liczb naturalnych jest ograniczony z dołu.
Math_Logic pisze: 1 sty 2022, o 19:13Czy jest opcja, aby udowodnić indukcyjnie własność w podzbiorze zbioru liczb naturalnych ograniczonym z góry?
Każdy podzbiór zbioru liczb naturalnych ograniczony z góry jest skończony.

Szczerze mówiąc to nie bardzo rozumiem, o co pytasz.

JK
Jakub Gurak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1392
Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 60 razy
Pomógł: 83 razy

Re: Ograniczenie indukcji

Post autor: Jakub Gurak »

Natknąłem się kiedyś na pewną formę indukcji ograniczonej.

Tzn. jeśli \(\displaystyle{ m}\) jest (dowolnie dużą) liczbą naturalną, wtedy działa indukcja od \(\displaystyle{ 0}\) do \(\displaystyle{ m}\).

Tzn. jeśli własność \(\displaystyle{ \alpha (n)}\) spełnia, że zachodzi dla \(\displaystyle{ 0}\), tzn. gdy zachodzi \(\displaystyle{ \alpha (0)}\), i po drugie dla dowolnego \(\displaystyle{ n\in\NN}\), takiego, że n<m zachodzi: \(\displaystyle{ \left[ \alpha (n) \rightarrow \alpha (n+1) \right]}\) , to indukcja ograniczona głosi, że: \(\displaystyle{ \alpha (n), \hbox{ dla }n=0,1,\ldots, m.}\)

Po prostu, w przypadku gdy: \(\displaystyle{ n=m}\), ta indukcja się urywa, bo \(\displaystyle{ m\not<m.}\)
Ktoś powie, że to indukcja skończona. Racja, tylko, że to też działa, gdy \(\displaystyle{ m}\) jest duże- wtedy ręcznie nie sprawdzi tych \(\displaystyle{ (m+1)}\) kroków. A taka indukcja działa, i wtedy może się to tu przydać. :D
ODPOWIEDZ