Indukcja matematyczna w nierówności

Ze względu na specyfikę metody - osobny dział.
smp
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22
Rejestracja: 23 paź 2021, o 19:43
Płeć: Mężczyzna
wiek: 20
Podziękował: 5 razy

Indukcja matematyczna w nierówności

Post autor: smp »

Witam

Mam problem z dowodem indukcji matematycznej w nierównościach. Jakoś zwykłe nierówności są łatwe dla mnie ale nierówności są troszeczkę dziwne

Weźmy za przykład
\(\displaystyle{ 2n+1<2^n}\) dla \(\displaystyle{ n \ge 3}\)

To okej krok 1: Sprawdzamy dla n=3
\(\displaystyle{ 7=2\cdot 3+1<2^3=8}\) (też sprawdziłem dla \(\displaystyle{ n=4}\), że zachodzi)

To dobrze pierwszy krok indukcyjny sprawdziliśmy i zachodzi. Piszemy założenia, że np dla \(\displaystyle{ 2k+1<2^k}\), \(\displaystyle{ k \ge 3}\) zachodzi i piszemy tezę, że: \(\displaystyle{ 2(k+1)+1< 2^{k+1} }\)

I tutaj rozpoczynają się schody czego nie rozumiem. Wymnażamy i wychodzi:
\(\displaystyle{ 2k+1+2<2\cdot 2^k}\) Po lewej stronie widać \(\displaystyle{ 2k+1}\) czyli fragment z założenia pierwszego (ale to niestety nic nam nie daje, gdyby byłaby równość to można byłoby podstawić z pierwszego równania co tam wyjdzie...) i tutaj jest coś czego nie rozumiem ale widzę, że ludzie tak robią: Bierzemy nasze założenie \(\displaystyle{ 2k+1<2^k}\) i pomnażamy przez 2 strony i wychodzi \(\displaystyle{ 4k+2<2\cdot 2^k}\) i uzyskujemy efekt, że po prawej stronie jest to samo co w naszej tezie czyli \(\displaystyle{ 2\cdot 2^k}\) i teraz robi się porównanie, że
\(\displaystyle{ 4k+2>2(k+1)+1}\)
\(\displaystyle{ 4k+2>2k+1+2}\)
\(\displaystyle{ 4k+2>2k+3}\)
\(\displaystyle{ 2k>1}\) co jest prawdą dla \(\displaystyle{ k \ge 3}\)

I tutaj mam dwa pytania: 1. Czy prawidłowo to zrobiłem? 2. Dlaczego porównujemy \(\displaystyle{ 4k+2>2(k+1)+1}\)? Gdzie nam zniknęło \(\displaystyle{ 2^{k+1}}\) w dalszej części dowodu?
Ostatnio zmieniony 3 gru 2021, o 19:36 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34125
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Indukcja matematyczna w nierówności

Post autor: Jan Kraszewski »

smp pisze: 3 gru 2021, o 19:30Piszemy założenia, że np dla \(\displaystyle{ 2k+1<2^k}\), \(\displaystyle{ k \ge 3}\) zachodzi i piszemy tezę, że: \(\displaystyle{ 2(k+1)+1< 2^{k+1} }\)
Powinieneś napisać dokładniej: ustalasz dowolne \(\displaystyle{ k\ge 3}\), takie że zachodzi i chcesz pokazać, że \(\displaystyle{ 2(k+1)+1< 2^{k+1} }\).
smp pisze: 3 gru 2021, o 19:30I tutaj rozpoczynają się schody czego nie rozumiem. Wymnażamy i wychodzi:
\(\displaystyle{ 2k+1+2<2\cdot 2^k}\) Po lewej stronie widać \(\displaystyle{ 2k+1}\) czyli fragment z założenia pierwszego (ale to niestety nic nam nie daje, gdyby byłaby równość to można byłoby podstawić z pierwszego równania co tam wyjdzie...)
Takie przekształcanie tezy to nie jest dobry pomysł. Żeby dowód tego typu był poprawny, to wszystkie przejścia muszą być równoważne, co powinno być wyraźnie w dowodzie zaznaczone.
smp pisze: 3 gru 2021, o 19:30 i tutaj jest coś czego nie rozumiem ale widzę, że ludzie tak robią: Bierzemy nasze założenie \(\displaystyle{ 2k+1<2^k}\) i pomnażamy przez 2 strony i wychodzi \(\displaystyle{ 4k+2<2\cdot 2^k}\) i uzyskujemy efekt, że po prawej stronie jest to samo co w naszej tezie czyli \(\displaystyle{ 2\cdot 2^k}\) i teraz robi się porównanie, że
\(\displaystyle{ 4k+2>2(k+1)+1}\)
\(\displaystyle{ 4k+2>2k+1+2}\)
\(\displaystyle{ 4k+2>2k+3}\)
\(\displaystyle{ 2k>1}\) co jest prawdą dla \(\displaystyle{ k \ge 3}\)
To jest lepsze, ale dość niestarannie zapisane i niewystarczająco skomentowane.
smp pisze: 3 gru 2021, o 19:30I tutaj mam dwa pytania: 1. Czy prawidłowo to zrobiłem? 2. Dlaczego porównujemy \(\displaystyle{ 4k+2>2(k+1)+1}\)? Gdzie nam zniknęło \(\displaystyle{ 2^{k+1}}\) w dalszej części dowodu?
Sytuacja jest dość prosta: wiesz, że dla ustalonego przez Ciebie \(\displaystyle{ k}\) mamy \(\displaystyle{ 2k+1<2^k}\), a chcesz pokazać, że \(\displaystyle{ 2k+3< 2^{k+1} }\). Musisz zastanowić się, jak rozsądnie wykorzystać założenie i po to jest to wymnożenie przez \(\displaystyle{ 2}\). Ja wolałbym jednak, by było to zapisane tak:

\(\displaystyle{ P=2^{k+1}=2\cdot 2^k\,\red{>}\,2\cdot(2k+1)=4k+2=2k+3+2k-1\,\blue{>}\,2k+3=L}\)

gdzie czerwona nierówność jest wynikiem zastosowania założenia indukcyjnego, zaś niebieska nierówność wynika z faktu, że dla \(\displaystyle{ k\ge 3}\) zachodzi \(\displaystyle{ 2k-1>0}\) (i ten komentarz należy dodać do rachunków).

JK
smp
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22
Rejestracja: 23 paź 2021, o 19:43
Płeć: Mężczyzna
wiek: 20
Podziękował: 5 razy

Re: Indukcja matematyczna w nierówności

Post autor: smp »

Dobrze to jeszcze jeden przykład tutaj chce zaprezentować (czy dobrze robię): \(\displaystyle{ n^2< 3^{n-1} }\)
No to przeprowadzam dowód indukcyjny według schematu.

Krok 1: sprawdzam od którego n należącego do liczb naturalnych zachodzi nierówność - tutaj zachodzi ona dla \(\displaystyle{ n \ge 4}\) i dla n=4 wychodzi \(\displaystyle{ 16<27}\)

Krok 2: Piszemy założenie, ze k należy do liczb naturalnych oraz \(\displaystyle{ k \ge 4}\) oraz mamy \(\displaystyle{ k^2< 3^{k-1} }\).
Teza: chcemy udowodnić, że dla k należącego do liczb naturalnych oraz \(\displaystyle{ k \ge 4}\) zachodzi: \(\displaystyle{ (k+1)^2< 3^{(k+1)-1} }\)

No to rozpisuje tezę, że:
\(\displaystyle{ (k+1)^2< 3^{(k+1)-1} \Leftrightarrow }\)
\(\displaystyle{ k^2+2k+1< 3^k }\)

Teraz biorę założenie \(\displaystyle{ k^2< 3^{k-1}}\) i mnożę je obustronnie przez 3 aby po prawej stronie osiągnąć \(\displaystyle{ 3^k}\) jak w tezie
\(\displaystyle{ k^2< 3^{k-1} }\)
\(\displaystyle{ 3 \cdot k^2<3 \cdot 3^{k-1} \Leftrightarrow }\)
\(\displaystyle{ 3k^2<3^{k}}\)
I to rozumiem, że mogę tak samo zapisać jako dwie nierówności w jednej lini czyli:
\(\displaystyle{ 3^{k}>3k^2>(k+1)^2}\)

I wtedy jako rozwinięcie dowodu wystarczy, że zajmę się tylko tą nierównością \(\displaystyle{ 3k^2>(k+1)^2}\) ? (bo z tym \(\displaystyle{ 3^k}\) chyba nic nie mogę obliczyć)

Bo jeśli tak, to z \(\displaystyle{ 3k^2>(k+1)^2}\) wychodzi finalnie \(\displaystyle{ 2k^2-2k-1>0 }\), \(\displaystyle{ Δ = 16}\) a \(\displaystyle{ \sqrt{Δ} = 4}\)
Wtedy otrzymujemy: \(\displaystyle{ k_{1}= - \frac{1}{2}}\) oraz \(\displaystyle{ k _{2}= \frac{3}{2} }\) a jako, że w założeniu mamy, że \(\displaystyle{ k \ge 4}\) to mamy, że nierówność \(\displaystyle{ 3k^2>(k+1)^2}\) jest dodatnia dla \(\displaystyle{ k \ge 4}\) - co jest końcem dowodu indukcyjnego?

Oczywiście ostatni krok to napisanie konkluzję, że na mocy zasady indukcji matematyczne nierówność \(\displaystyle{ n^2< 3^{n-1} }\) jest zawsze prawdziwa i zachodzi ona dla \(\displaystyle{ n \ge 4}\)
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34125
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Indukcja matematyczna w nierówności

Post autor: Jan Kraszewski »

smp pisze: 4 gru 2021, o 19:23Krok 2: Piszemy założenie, ze k należy do liczb naturalnych oraz \(\displaystyle{ k \ge 4}\) oraz mamy \(\displaystyle{ k^2< 3^{k-1} }\).
Teza: chcemy udowodnić, że dla k należącego do liczb naturalnych oraz \(\displaystyle{ k \ge 4}\) zachodzi: \(\displaystyle{ (k+1)^2< 3^{(k+1)-1} }\)
Dobrze byłoby napisać, że ustalasz takie \(\displaystyle{ k}\), żeby nie było wrażenia, iż zakładasz tę nierówność dla wszystkich \(\displaystyle{ k}\)...
smp pisze: 4 gru 2021, o 19:23No to rozpisuje tezę, że:
\(\displaystyle{ (k+1)^2< 3^{(k+1)-1} \Leftrightarrow }\)
\(\displaystyle{ k^2+2k+1< 3^k }\)

Teraz biorę założenie \(\displaystyle{ k^2< 3^{k-1}}\) i mnożę je obustronnie przez 3 aby po prawej stronie osiągnąć \(\displaystyle{ 3^k}\) jak w tezie
\(\displaystyle{ k^2< 3^{k-1} }\)
\(\displaystyle{ 3 \cdot k^2<3 \cdot 3^{k-1} \Leftrightarrow }\)
\(\displaystyle{ 3k^2<3^{k}}\)
I to rozumiem, że mogę tak samo zapisać jako dwie nierówności w jednej lini czyli:
\(\displaystyle{ 3^{k}>3k^2>(k+1)^2}\)

I wtedy jako rozwinięcie dowodu wystarczy, że zajmę się tylko tą nierównością \(\displaystyle{ 3k^2>(k+1)^2}\) ? (bo z tym \(\displaystyle{ 3^k}\) chyba nic nie mogę obliczyć)
Technicznie tak, ale jako dowód bez stosownego komentarza wygląda to słabo. Wypadałoby przynajmniej napisać, że

"Z założenia indukcyjnego wnioskujemy, że \(\displaystyle{ 3^{k}>3k^2}\), więc by dowieść prawdziwości tezy wystarczy pokazać, że \(\displaystyle{ 3k^2\ge (k+1)^2.}\)"
smp pisze: 4 gru 2021, o 19:23Bo jeśli tak, to z \(\displaystyle{ 3k^2>(k+1)^2}\) wychodzi finalnie \(\displaystyle{ 2k^2-2k-1>0 }\), \(\displaystyle{ Δ = 16}\) a \(\displaystyle{ \sqrt{Δ} = 4}\)
Wtedy otrzymujemy: \(\displaystyle{ k_{1}= - \frac{1}{2}}\) oraz \(\displaystyle{ k _{2}= \frac{3}{2} }\) a jako, że w założeniu mamy, że \(\displaystyle{ k \ge 4}\) to mamy, że nierówność \(\displaystyle{ 3k^2>(k+1)^2}\) jest dodatnia dla \(\displaystyle{ k \ge 4}\)
Rachunkowo mniej więcej tak, ale wygląda to słabo (i co to znaczy, że "nierówność jest dodatnia"?). Nie można po prostu napisać, że nierówność \(\displaystyle{ 2k^2-2k-1>0 }\) jest spełniona dla \(\displaystyle{ k\in \RR\setminus \left[ -\frac12,\frac32\right] }\), więc w szczególności zachodzi dla wszystkich liczb naturalnych \(\displaystyle{ k\ge 4}\), czyli także dla naszego ustalonego \(\displaystyle{ k}\) ?
smp pisze: 4 gru 2021, o 19:23Oczywiście ostatni krok to napisanie konkluzję, że na mocy zasady indukcji matematyczne nierówność \(\displaystyle{ n^2< 3^{n-1} }\) jest zawsze prawdziwa i zachodzi ona dla \(\displaystyle{ n \ge 4}\)
Skoro dla \(\displaystyle{ n \ge 4}\), to nie zawsze...

JK
smp
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22
Rejestracja: 23 paź 2021, o 19:43
Płeć: Mężczyzna
wiek: 20
Podziękował: 5 razy

Re: Indukcja matematyczna w nierówności

Post autor: smp »

Dzięki za odpowiedź. Czyli teraz w przypadku tym jedynym błędem moim jest błędny opis po prostu słowny/komentarz (ale już obliczeniowo jest okej?).
Jan Kraszewski pisze: 4 gru 2021, o 19:38 \(\displaystyle{ 3k^2\ge (k+1)^2}\)"
Do tego mam pytanie, czy zawsze jakby zmiękczamy znak nierówności, że występuje wtedy znak większy(mniejszy) bądź równy? I co w sytuacji, jeżeli w nierówności którą udowadniamy indukcyjnie jest znak miękki - to wtedy w przypadku pisania tej drugiej nierówności stosujemy już ostry znak nierówności?
Jan Kraszewski pisze: 4 gru 2021, o 19:38 (i co to znaczy, że "nierówność jest dodatnia"?)
Fakt może nie potrzebny komentarz - miałem tu na myśli gdy narysujemy wykres tej nierówności kwadratowej to w przedziałach od \(\displaystyle{ \infty }\) do \(\displaystyle{ -\frac{1}{2} }\) oraz \(\displaystyle{ \frac{3}{2}}\) do \(\displaystyle{ \infty }\) przyjmuje dodatnią wartość.
Jan Kraszewski pisze: 4 gru 2021, o 19:38
Skoro dla \(\displaystyle{ n \ge 4}\), to nie zawsze...
Fakt zły zapis - powinno być, że dla każdego n należącego liczb naturalnych (i tutaj napisać z przypisem 4 lub dopisać, że dla n należącego do liczb naturalnych i większych, równych 4)
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34125
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Indukcja matematyczna w nierówności

Post autor: Jan Kraszewski »

smp pisze: 4 gru 2021, o 20:00 Dzięki za odpowiedź. Czyli teraz w przypadku tym jedynym błędem moim jest błędny opis po prostu słowny/komentarz (ale już obliczeniowo jest okej?).
Zasadniczo tak. Pamietaj jednak, że to dowód, więc warto zadbać o zrozumiały i poprawny opis rozumowania.
smp pisze: 4 gru 2021, o 20:00 Do tego mam pytanie, czy zawsze jakby zmiękczamy znak nierówności, że występuje wtedy znak większy(mniejszy) bądź równy?
Tutaj to akurat nie ma znaczenia, ale zauważ, że wnioskując z założenia indukcyjnego dostałeś już ostrą nierówność, więc ta druga nierówność nie musi być ostra, żeby całość byłą ostra (tu akurat obie będą ostre).
smp pisze: 4 gru 2021, o 20:00I co w sytuacji, jeżeli w nierówności którą udowadniamy indukcyjnie jest znak miękki - to wtedy w przypadku pisania tej drugiej nierówności stosujemy już ostry znak nierówności?
Jeżeli dowodzisz nierówności słabej, to zapewne wszystkie nierówności w dowodzie będą słabe.
smp pisze: 4 gru 2021, o 20:00 Fakt może nie potrzebny komentarz - miałem tu na myśli gdy narysujemy wykres tej nierówności kwadratowej to w przedziałach od \(\displaystyle{ \infty }\) do \(\displaystyle{ -\frac{1}{2} }\) oraz \(\displaystyle{ \frac{3}{2}}\) do \(\displaystyle{ \infty }\) przyjmuje dodatnią wartość.
Pamiętaj, że to "oficjalny" dowód, a nie tłumaczenie koledze na korytarzu, dlatego warto zadbać o lepszą formę.

JK
smp
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22
Rejestracja: 23 paź 2021, o 19:43
Płeć: Mężczyzna
wiek: 20
Podziękował: 5 razy

Re: Indukcja matematyczna w nierówności

Post autor: smp »

Super dziękuję za pomoc :) już rozumiem jak robić indukcję matematyczną w nierówności. Tylko ostatnie pytanie mam co do jednej nierówności
\(\displaystyle{ n^2\cdot 2^n < n^2+n-2}\)

Tutaj nie opiszę tego krok po kroku zadania w pełni z opisem bo chce sobie zrobić na kartce na spokojnie tylko mam problem z krokiem drugim bo dla \(\displaystyle{ n+1}\) mamy:

\(\displaystyle{ (n+1)^2\cdot 2^{n+1} < (n+1)^2+n+1-2}\)

I teraz mam pytanie przez co pomnożyć założenie \(\displaystyle{ n^2\cdot 2^n < n^2+n-2}\) aby uzyskać po lewej stronie to samo co w tezie czyli \(\displaystyle{ (n+1)^2\cdot 2^{n+1}}\)? Bo w przypadku gdy w nierówności jest jedna liczba po jednej ze stron nierówności to jest wtedy łatwo po wtedy mnożymy lewą i prawą stronę przez daną liczbę która daje nam taki sam wynik co w tezie w drugim kroku.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34125
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Indukcja matematyczna w nierówności

Post autor: Jan Kraszewski »

smp pisze: 5 gru 2021, o 12:43Tylko ostatnie pytanie mam co do jednej nierówności
\(\displaystyle{ n^2\cdot 2^n < n^2+n-2}\)
Coś nie tak, ta nierówność jest zawsze nieprawdziwa. Nie miało być \(\displaystyle{ n^2\cdot 2^n \,\red{>}\, n^2+n-2}\) ?

JK
smp
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22
Rejestracja: 23 paź 2021, o 19:43
Płeć: Mężczyzna
wiek: 20
Podziękował: 5 razy

Re: Indukcja matematyczna w nierówności

Post autor: smp »

Jan Kraszewski pisze: 5 gru 2021, o 13:26
smp pisze: 5 gru 2021, o 12:43Tylko ostatnie pytanie mam co do jednej nierówności
\(\displaystyle{ n^2\cdot 2^n < n^2+n-2}\)
Coś nie tak, ta nierówność jest zawsze nieprawdziwa. Nie miało być \(\displaystyle{ n^2\cdot 2^n \,\red{>}\, n^2+n-2}\) ?

JK
Tzn faktycznie będzie \(\displaystyle{ n^2\cdot 2^n \, \ge n^2+n-2}\) bo dostaliśmy informację, że ta nierówność posiada zbiór pusty więc trzeba zrobić negację kwantyfikatora dla każdego n istnieje \(\displaystyle{ n^2\cdot 2^n < n^2+n-2}\) na kwantyfikator istnieje x \(\displaystyle{ n^2\cdot 2^n \, \ge n^2+n-2}\) no i na tej nierówności będziemy działać.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34125
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Indukcja matematyczna w nierówności

Post autor: Jan Kraszewski »

smp pisze: 5 gru 2021, o 15:49Tzn faktycznie będzie \(\displaystyle{ n^2\cdot 2^n \, \ge n^2+n-2}\) bo dostaliśmy informację, że ta nierówność posiada zbiór pusty
Zapewniam Cię, że nierówność nie może "posiadać zbioru pustego"... Co najwyżej zbiór rozwiązań naturalnych tej nierówności może być pusty.
smp pisze: 5 gru 2021, o 15:49więc trzeba zrobić negację kwantyfikatora dla każdego n istnieje \(\displaystyle{ n^2\cdot 2^n < n^2+n-2}\) na kwantyfikator istnieje x \(\displaystyle{ n^2\cdot 2^n \, \ge n^2+n-2}\) no i na tej nierówności będziemy działać.
A to już brzmi magicznie. W jakim celu "trzeba zrobić negację kwantyfikatora"? I co to znaczy "na tej nierówności będziemy działać"?

JK
smp
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22
Rejestracja: 23 paź 2021, o 19:43
Płeć: Mężczyzna
wiek: 20
Podziękował: 5 razy

Re: Indukcja matematyczna w nierówności

Post autor: smp »

Jan Kraszewski pisze: 5 gru 2021, o 15:59
smp pisze: 5 gru 2021, o 15:49Tzn faktycznie będzie \(\displaystyle{ n^2\cdot 2^n \, \ge n^2+n-2}\) bo dostaliśmy informację, że ta nierówność posiada zbiór pusty
Zapewniam Cię, że nierówność nie może "posiadać zbioru pustego"... Co najwyżej zbiór rozwiązań naturalnych tej nierówności może być pusty.
Tak racja, zbiór rozwiązań naturalnych tej nierówności będzie pusty
Jan Kraszewski pisze: 5 gru 2021, o 15:59
smp pisze: 5 gru 2021, o 15:49więc trzeba zrobić negację kwantyfikatora dla każdego n istnieje \(\displaystyle{ n^2\cdot 2^n < n^2+n-2}\) na kwantyfikator istnieje x \(\displaystyle{ n^2\cdot 2^n \, \ge n^2+n-2}\) no i na tej nierówności będziemy działać.
A to już brzmi magicznie. W jakim celu "trzeba zrobić negację kwantyfikatora"? I co to znaczy "na tej nierówności będziemy działać"?
Tutaj byłem uczony, że wtedy robimy tak:
\(\displaystyle{ \neg(\forall x\in \NN, (n^2\cdot 2^n \, < n^2+n-2)) \Leftrightarrow }\)
\(\displaystyle{ \exists x\in \NN,( n^2 \cdot 2^n \, \ge n^2+n-2)}\)

No i dowód indukcji matematycznej robimy na nierówności \(\displaystyle{ n^2 \cdot 2^n \, \ge n^2+n-2}\)
Ostatnio zmieniony 5 gru 2021, o 16:16 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34125
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Indukcja matematyczna w nierówności

Post autor: Jan Kraszewski »

smp pisze: 5 gru 2021, o 16:12Tutaj byłem uczony, że wtedy robimy tak:
\(\displaystyle{ \neg(\forall x\in \NN, (n^2\cdot 2^n \, < n^2+n-2)) \Leftrightarrow }\)
\(\displaystyle{ \exists x\in \NN,( n^2 \cdot 2^n \, \ge n^2+n-2)}\)

No i dowód indukcji matematycznej robimy na nierówności \(\displaystyle{ n^2 \cdot 2^n \, \ge n^2+n-2}\)
No to jest bzdura.

Oczywiście prawdą jest, że \(\displaystyle{ \neg(\forall x\in \NN)n^2\cdot 2^n \, < n^2+n-2 \Leftrightarrow (\exists x\in \NN) n^2 \cdot 2^n \ge n^2+n-2,}\) tylko że to nie ma żadnego związku z indukcją. Zdanie \(\displaystyle{ (\exists x\in \NN) n^2 \cdot 2^n \ge n^2+n-2}\) mówi, że istnieje liczba naturalna \(\displaystyle{ n}\), dla której zachodzi nierówność \(\displaystyle{ n^2 \cdot 2^n \ge n^2+n-2}\) i dowód tego jest bardzo prosty: dla \(\displaystyle{ n=1}\) mamy \(\displaystyle{ 1^2\cdot 2^1=2\ge 0=1^2+1-2}\) i już.

Indukcyjnie można dowodzić prawdziwość zdania \(\displaystyle{ (\forall x\in \NN) n^2 \cdot 2^n \ge n^2+n-2}\), które - nawiasem mówiąc - jest równoważne zdaniu \(\displaystyle{ \neg(\exists x\in \NN)n^2\cdot 2^n \, < n^2+n-2}\), które mówi, że zbiór rozwiązań naturalnych nierówności \(\displaystyle{ n^2\cdot 2^n \, < n^2+n-2}\) jest pusty. Natomiast nie rozumiem sensu tego podejścia - nie można od razu powiedzieć, że chcemy pokazać prawdziwość nierówności \(\displaystyle{ n^2 \cdot 2^n \ge n^2+n-2}\) dla wszystkich liczb naturalnych?

JK
smp
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22
Rejestracja: 23 paź 2021, o 19:43
Płeć: Mężczyzna
wiek: 20
Podziękował: 5 razy

Re: Indukcja matematyczna w nierówności

Post autor: smp »

smp pisze: 5 gru 2021, o 16:12
Jan Kraszewski pisze: 5 gru 2021, o 15:59
smp pisze: 5 gru 2021, o 15:49Tzn faktycznie będzie \(\displaystyle{ n^2\cdot 2^n \, \ge n^2+n-2}\) bo dostaliśmy informację, że ta nierówność posiada zbiór pusty
Zapewniam Cię, że nierówność nie może "posiadać zbioru pustego"... Co najwyżej zbiór rozwiązań naturalnych tej nierówności może być pusty.
Tak racja, zbiór rozwiązań naturalnych tej nierówności będzie pusty
Jan Kraszewski pisze: 5 gru 2021, o 15:59
smp pisze: 5 gru 2021, o 15:49więc trzeba zrobić negację kwantyfikatora dla każdego n istnieje \(\displaystyle{ n^2\cdot 2^n < n^2+n-2}\) na kwantyfikator istnieje x \(\displaystyle{ n^2\cdot 2^n \, \ge n^2+n-2}\) no i na tej nierówności będziemy działać.
A to już brzmi magicznie. W jakim celu "trzeba zrobić negację kwantyfikatora"? I co to znaczy "na tej nierówności będziemy działać"?
Tutaj byłem uczony, że wtedy robimy tak:
\(\displaystyle{ \neg(\forall x\in \NN, (n^2\cdot 2^n \, < n^2+n-2)) \Leftrightarrow }\)
\(\displaystyle{ \exists x\in \NN,( n^2 \cdot 2^n \, \ge n^2+n-2)}\)

No i dowód indukcji matematycznej robimy na nierówności \(\displaystyle{ n^2 \cdot 2^n \, \ge n^2+n-2}\)
Na to pytanie niestety nie odpowiem ci, takie po prostu mam przykład w zadaniu i dostałem podpowiedź, że zbiór rozwiązań tej nierówności będzie pusty - też miałem przykład właśnie jak krok po kroku robić.. Ale to możemy zostawić na inny tor (może takiego przykładu nie będę miał, gdzie będzie sytuacja, że zbiór rozwiązań naturalnych nierówności będzie pusty.) to jak zająć się taką nierównością?
Wiadomo (bez opisu dokładnego pisania założeń oczywiście co należy robić :mrgreen: ale to już wolę na papierze na spokojnie robić)\(\displaystyle{ n^2 \cdot 2^n \, \ge n^2+n-2}\) sprawdzamy dla n=0
\(\displaystyle{ 0^2 \cdot 2^0 \, \ge 0^2+0-2}\)
\(\displaystyle{ 0 \ge -2}\)
Okej pierwszy krok mamy spełniony więc teraz piszemy założenie dla k, \(\displaystyle{ k^2 \cdot 2^k \, \ge k^2+k-2}\) i otrzymujemy tezę
\(\displaystyle{ (k+1)^2 \cdot 2^{k+1} \, \ge (k+1)^2+k+1-2}\)

No i tutaj ponawiam pytanie przez co mam pomnożyć nierówność z twierdzenia \(\displaystyle{ k^2 \cdot 2^k \, \ge k^2+k-2}\) aby otrzymać to samo co w twierdzeniu? (tak jak robiłem w innych przykładach, że mnożyłem np. przez 3 i wtedy mieć te dwie nierówności jak np. \(\displaystyle{ 3^{k}>3k^2>(k+1)^2}\))
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34125
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Indukcja matematyczna w nierówności

Post autor: Jan Kraszewski »

smp pisze: 5 gru 2021, o 16:43Okej pierwszy krok mamy spełniony więc teraz piszemy założenie dla k, \(\displaystyle{ k^2 \cdot 2^k \, \ge k^2+k-2}\) i otrzymujemy tezę
\(\displaystyle{ (k+1)^2 \cdot 2^{k+1} \, \ge (k+1)^2+k+1-2}\)

No i tutaj ponawiam pytanie przez co mam pomnożyć nierówność z twierdzenia \(\displaystyle{ k^2 \cdot 2^k \, \ge k^2+k-2}\) aby otrzymać to samo co w twierdzeniu? (tak jak robiłem w innych przykładach, że mnożyłem np. przez 3 i wtedy mieć te dwie nierówności jak np. \(\displaystyle{ 3^{k}>3k^2>(k+1)^2}\))
Podobnie - robisz analizę sytuacji. Wiesz, że dla ustalonego \(\displaystyle{ k\in\NN}\) zachodzi \(\displaystyle{ k^2 \cdot 2^k\ge k^2+k-2}\), chcesz pokazać, że \(\displaystyle{ L=(k+1)^2 \cdot 2^{k+1} \ge k^2+3k=P}\), czyli - równoważnie - \(\displaystyle{ k^2 \cdot 2^k+(2k+1)\cdot 2^k\ge k^2+3}\). Korzystając z założenia indukcyjnego wiesz, że \(\displaystyle{ k^2 \cdot 2^k+(2k+1)\cdot 2^k\ge k^2+k-2+(2k+1)\cdot 2^k}\) zatem do dowodu nierówności \(\displaystyle{ L\ge P}\) wystarczy pokazać, że \(\displaystyle{ k^2+k-2+(2k+1)\cdot 2^k\ge k^2+3k}\), czyli - równoważnie - \(\displaystyle{ (2k+1)\cdot 2^k\ge 2k+2}\). Ta z kolei nierówność zachodzi dla \(\displaystyle{ k\ge 1}\), bo wtedy \(\displaystyle{ (2k+1)\cdot 2^k\ge (2k+1)\cdot 2=4k+2\ge 2k+2}\). Musisz jednak pamiętać, że wtedy dla pełności dowodu musisz jeszcze ręcznie sprawdzić przypadek \(\displaystyle{ k=1}\).

JK
smp
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22
Rejestracja: 23 paź 2021, o 19:43
Płeć: Mężczyzna
wiek: 20
Podziękował: 5 razy

Re: Indukcja matematyczna w nierówności

Post autor: smp »

Jan Kraszewski pisze: 5 gru 2021, o 18:35 chcesz pokazać, że \(\displaystyle{ L=(k+1)^2 \cdot 2^{k+1} \ge k^2+3k=P}\)
Skąd ci wyszło, że po prawej stronie masz \(\displaystyle{ k^2+3k}\)?
ODPOWIEDZ