Dowód indukcyjny
-
- Użytkownik
- Posty: 41
- Rejestracja: 14 paź 2021, o 19:47
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 19
- Podziękował: 19 razy
Dowód indukcyjny
Udowodnij: \(\displaystyle{ \left|\sin(nx)\right| \le n\left| \sin x \right| }\) dla \(\displaystyle{ n\in \NN.}\)
Moje pytanie dotyczy pierwszej części dowodu indukcyjnego, wybieram sobie najmniejsze \(\displaystyle{ n_0=1}\) i sprawdzam czy wszystko się zgadza.
\(\displaystyle{ \left| \sin x\right| \le \left| \sin x\right| }\) wszystko się zgadza więc przechodzę do założeń indukcyjnych: Dla \(\displaystyle{ n \le 1}\) zachodzi nierówność \(\displaystyle{ \left|\sin(nx)\right| \le n\left| \sin x \right| }\)
Czy wszystko w tej części jest okej?
Moje pytanie dotyczy pierwszej części dowodu indukcyjnego, wybieram sobie najmniejsze \(\displaystyle{ n_0=1}\) i sprawdzam czy wszystko się zgadza.
\(\displaystyle{ \left| \sin x\right| \le \left| \sin x\right| }\) wszystko się zgadza więc przechodzę do założeń indukcyjnych: Dla \(\displaystyle{ n \le 1}\) zachodzi nierówność \(\displaystyle{ \left|\sin(nx)\right| \le n\left| \sin x \right| }\)
Czy wszystko w tej części jest okej?
Ostatnio zmieniony 15 paź 2021, o 00:32 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd. Poprawa wiadomości.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd. Poprawa wiadomości.
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4069
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1393 razy
Re: Dowód indukcyjny
Dla \(\displaystyle{ n_0=0}\) też działa. Więc raczej nie wybierasz tylko sprawdzasz to co trzeba.
W takim razie koniec dowodu. Bo to miałeś pokazać?
-
- Użytkownik
- Posty: 41
- Rejestracja: 14 paź 2021, o 19:47
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 19
- Podziękował: 19 razy
Re: Dowód indukcyjny
Pomyliłem się w założeniu indukcyjnym powinno być: Dla \(\displaystyle{ n \ge 1}\) zachodzi nierówność \(\displaystyle{ \left|\sin(nx)\right| \le n\left| \sin x \right| }\)
W dalszej części powinienem udowodnić tezę: \(\displaystyle{ \left|\sin((n+1)x)\right| \le (n+1)\left| \sin x \right|}\)
Natomiast to już potrafię.
Moje pytanie dotyczy tego, że na ćwiczeniach prowadzący mówił, że wybieramy najmniejsze \(\displaystyle{ n}\) umówiliśmy się, że \(\displaystyle{ 0}\) nie należy do naturalnych.
To w takim razie jest okej?
W dalszej części powinienem udowodnić tezę: \(\displaystyle{ \left|\sin((n+1)x)\right| \le (n+1)\left| \sin x \right|}\)
Natomiast to już potrafię.
Moje pytanie dotyczy tego, że na ćwiczeniach prowadzący mówił, że wybieramy najmniejsze \(\displaystyle{ n}\) umówiliśmy się, że \(\displaystyle{ 0}\) nie należy do naturalnych.
To w takim razie jest okej?
Ostatnio zmieniony 15 paź 2021, o 00:33 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
-
- Administrator
- Posty: 34285
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Dowód indukcyjny
Założenie indukcyjne mówi, że dla dowolnie ustalonego \(\displaystyle{ n \ge 1}\) zachodzi nierówność \(\displaystyle{ \left|\sin(nx)\right| \le n\left| \sin x \right| }\), zaś teza indukcyjna stanowi, że właśnie dla tego \(\displaystyle{ n}\) zachodzi \(\displaystyle{ \left|\sin((n+1)x)\right| \le (n+1)\left| \sin x \right|.}\)
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 41
- Rejestracja: 14 paź 2021, o 19:47
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 19
- Podziękował: 19 razy
Re: Dowód indukcyjny
Rozumiem, pytam dlatego ponieważ spotkałem się z twierdzeniem, że w tym przykładzie mogę mieć błąd ponieważ: ,,wykazałeś dla \(\displaystyle{ n=1}\) równość a nie porządek, indukcja w tym przypadku pracuje dopiero od \(\displaystyle{ n_0=2}\)" i chciałem to skonsultować z kimś.... czyli ostatecznie mam rozumieć, że ten początek dowodu jest w porządku?
Dla \(\displaystyle{ n_0=1}\)
\(\displaystyle{ \left| \sin x\right| \le \left| \sin x\right| }\) (prawda)
Zał indukcyjne: Dla \(\displaystyle{ n \ge 1}\) zachodzi nierówność \(\displaystyle{ \left|\sin(nx)\right| \le n\left| \sin x \right| }\)
Dla \(\displaystyle{ n_0=1}\)
\(\displaystyle{ \left| \sin x\right| \le \left| \sin x\right| }\) (prawda)
Zał indukcyjne: Dla \(\displaystyle{ n \ge 1}\) zachodzi nierówność \(\displaystyle{ \left|\sin(nx)\right| \le n\left| \sin x \right| }\)
-
- Administrator
- Posty: 34285
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Dowód indukcyjny
Bzdura. Skoro pokazałeś, że jest równe, to tym bardziej jest mniejsze lub równe.
A za takie sformułowanie założenia indukcyjnego to gonię - to nie jest założenie indukcyjne, tylko założenie tezy zadania.
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 41
- Rejestracja: 14 paź 2021, o 19:47
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 19
- Podziękował: 19 razy
Re: Dowód indukcyjny
Dziękuję za odpowiedź, jak zatem dla tego zadania wygląda założenie indukcyjne, jak to poprawnie sformułować?
-
- Administrator
- Posty: 34285
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Dowód indukcyjny
Przecież Ci napisałem:
Można więc napisać np. tak:Jan Kraszewski pisze: ↑15 paź 2021, o 00:38Założenie indukcyjne mówi, że dla dowolnie ustalonego \(\displaystyle{ n \ge 1}\) zachodzi nierówność \(\displaystyle{ \left|\sin(nx)\right| \le n\left| \sin x \right| }\), zaś teza indukcyjna stanowi, że właśnie dla tego \(\displaystyle{ n}\) zachodzi \(\displaystyle{ \left|\sin((n+1)x)\right| \le (n+1)\left| \sin x \right|.}\)
Ustalmy dowolne naturalne \(\displaystyle{ n \ge 1}\), dla którego zachodzi nierówność \(\displaystyle{ \left|\sin(nx)\right| \le n\left| \sin x \right| }\). Pokażemy, że \(\displaystyle{ \left|\sin((n+1)x)\right| \le (n+1)\left| \sin x \right|.}\) Mamy... itd.
JK