Udowodnij za pomocą indukcji matematycznej

[guserd]

Dla \( n \in \mathbb{N}\) i dowolnych dodatnich \(a_{1}, .... , a_{2} \in \mathbb{R} \) udowodnij wykorzystując indukcję matematyczną:

\( (\sum\limits_{j=1}^n a_{j}) (\sum\limits_{j=1}^n a_{j}^{-1}) \geq n^{2} \)

1)Początek indukcji:

\(a_{1} \cdot a_{1}^{-1} = 1, 1 \cdot 1 = 1\)
\( 1 \geq 1 \)

2)Założenie:
Dla \( n \in \mathbb{N} \) twierdzenie \( (\sum\limits_{j=1}^n a_{j}) (\sum\limits_{j=1}^n a_{j}^{-1}) \geq n^{2} \) jest prawdziwe

3) \( (\sum\limits_{j=1}^{n+1} a_{j}) (\sum\limits_{j=1}^{n+1} a_{j}^{-1}) \geq (n+1)^{2} \)

\( (\sum\limits_{j=1}^{n+1} a_{j}) (\sum\limits_{j=1}^{n+1} a_{j}^{-1}) \) = \( (a_{n+1} + \sum\limits_{j=1}^n a_{j}) (a_{n+1}^{-1} + \sum\limits_{j=1}^n a_{j}^{-1}) = a_{n+1} \cdot a_{n+1}^{-1} + a_{n+1} \cdot \sum\limits_{j=1}^n a_{j}^{-1} + a_{n+1}^{-1} \cdot \sum\limits_{j=1}^n a_{j} + (\sum\limits_{j=1}^n a_{j}) (\sum\limits_{j=1}^n a_{j}^{-1}) \)

z założenia \( \geq n^{2} + a_{n+1} \cdot \sum\limits_{j=1}^n a_{j}^{-1} + a_{n+1}^{-1} \cdot \sum\limits_{j=1}^n a_{j} + 1 \)
czyli \(a_{n + 1} \cdot \sum\limits_{j=1}^n a_{n+1}^{-1} + a_{j}^{-1} \cdot \sum\limits_{j=1}^n a_{j} \geq 2n \) od tego momentu nie mam pojęcia co z tym dalej zrobić. Próbowałem to rozpisywać, ale nic z tego nie wyszło.

[bosa_Nike]

Tutaj:

\(\displaystyle{ a_{n + 1} \cdot \sum\limits_{j=1}^n a_{n+1}^{-1} + a_{j}^{-1} \cdot \sum\limits_{j=1}^n a_{j} \geq 2n}\)

zaplątałeś się w indeksy, winno być tak, jak napisałeś wyżej:

\(\displaystyle{ a_{n+1} \cdot \sum\limits_{j=1}^n a_{j}^{-1} + a_{n+1}^{-1} \cdot \sum\limits_{j=1}^n a_{j}}\)

\(\displaystyle{ =\sum\limits_{j=1}^n\left(\frac{a_{n+1}}{a_j}+\frac{a_j}{a_{n+1}}\right)}\).
Dla dowolnych dodatnich liczb \(\displaystyle{ x,y}\) mamy \(\displaystyle{ \frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge 2}\).

[guserd]

Dziękuję za poprawienie Mam jeszcze pytanie: dlaczego teraz całość jest większa bądź równa tylko od 2? A co stało się z \(n\)?

[bosa_Nike]

To \(\displaystyle{ n}\) się pojawi, kiedy oszacujesz wszystkie składniki tej sumy: \(\displaystyle{ \sum\limits_{j=1}^n\left(\frac{a_{n+1}}{a_j}+\frac{a_j}{a_{n+1}}\right)}\). Składnikiem jest tu całe wyrażenie w nawiasie, a skoro sumujesz po \(\displaystyle{ j}\), to takich składników jest \(\displaystyle{ n}\).

Masz \(\displaystyle{ \left(\frac{a_{n+1}}{a_1}+\frac{a_1}{a_{n+1}}\right)+\left(\frac{a_{n+1}}{a_2}+\frac{a_2}{a_{n+1}}\right)+\ldots +\left(\frac{a_{n+1}}{a_n}+\frac{a_n}{a_{n+1}}\right)\ge \underbrace{2+2+\ldots +2}_{n\ {\text{razy}}}}\).