dowód indukcyjny zadanie

Ze względu na specyfikę metody - osobny dział.
Dzbanzmatmy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11
Rejestracja: 1 maja 2020, o 16:55
Płeć: Kobieta
wiek: 20

dowód indukcyjny zadanie

Post autor: Dzbanzmatmy »

Proszę o pomoc w rozwiązaniu tego przykładu. Wykazać za pomocą indukcji matematycznej, n jest liczbą naturalną. \(\displaystyle{ 1^{3}+ 2^{3}+...+n ^{3}=\left( 1+2+...+ n \right)^{2} =\left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^{2} }\)
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: dowód indukcyjny zadanie

Post autor: Premislav »

Baza indukcji: \(\displaystyle{ 1^{3}=\left(\frac{1\cdot 2}{2}\right)^{2}}\), zgadza się.
W kroku indukcyjnym: przypuśćmy, że dla pewnego \(\displaystyle{ n\in \NN^{+}}\) zachodzi równość
\(\displaystyle{ 1^{3}+2^{3}+\ldots+n^{3}=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^{2}}\). Mamy wtedy
\(\displaystyle{ 1^{3}+2^{3}+\ldots+n^{3}+(n+1)^{3}\\=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^{2}+(n+1)^{3}\\=(n+1)^{2}\left(\frac{n^{2}}{4}+n+1\right)=(n+1)^{2}\cdot \frac{n^{2}+4n+4}{4}\\=\frac{(n+1)^{2}(n+2)^{2}}{4}\\=\left(\frac{(n+1)(n+2)}{2}\right)^{2}}\)
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: dowód indukcyjny zadanie

Post autor: janusz47 »

Na czym polega dowód indukcyjny ?
Continuum
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1
Rejestracja: 6 lis 2020, o 20:20
Płeć: Mężczyzna
wiek: 20

Re: dowód indukcyjny zadanie

Post autor: Continuum »

Do: janusz47. Dowód indukcyjny opiera się na aksjomatyce liczb naturalnych. Mówiąc prościej, jeśli mamy udowodnić indukcyjnie np. że zachodzi jakaś równość (tak jak w tym zadaniu) dla wszystkich liczb naturalnych, musimy wykonać następujące kroki:
1) najłatwiejsza część, czyli wykazać, że zachodzi dla \(\displaystyle{ n=1}\) (podstawiamy jedynkę do obu wzorów i sprawdzamy czy lewa strona równa się prawej)
Jeśli tak, możemy przejść dalej:
2) najtrudniejsza do zrozumienia część: Mamy przyjąć założenie, że równość zachodzi dla pewnego \(\displaystyle{ n}\) i na podstawie tego udowodnić, że jest to prawdą dla \(\displaystyle{ n+1}\).
Jaka stoi za tym intuicja:
Jeśli coś zachodzi dla \(\displaystyle{ 1}\) to zgodnie z zasadą \(\displaystyle{ n}\) "implikuje" \(\displaystyle{ n+1}\) równość zachodzi dla \(\displaystyle{ 2}\), a skoro dla \(\displaystyle{ 2}\) to i dla \(\displaystyle{ 3}\), a skoro dla \(\displaystyle{ 3}\) , to i dla \(\displaystyle{ 4}\) itd. aż dochodzimy do wniosku, że zachodzi dla wszystkich liczb naturalnych.
Ostatnio zmieniony 6 lis 2020, o 21:34 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: dowód indukcyjny zadanie

Post autor: Jan Kraszewski »

Widzisz, Continuum, ja myślę, że janusz47 świetnie wie, na czym polega dowód indukcyjny, a jego pytanie było skierowane do Dzbanazmatmy.

Ty natomiast w swoim wytłumaczeniu zapomniałeś o kluczowej rzeczy - zapomniałeś wytłumaczyć, że te kroki to tylko sprawdzenie założeń Zasady indukcji matematycznej, których spełnienie pozwala na jej zastosowanie.

JK
ODPOWIEDZ