jak udowidnić indukcyjnie wyrażenia

Ze względu na specyfikę metody - osobny dział.
july04
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 94
Rejestracja: 18 cze 2018, o 21:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 1 raz

jak udowidnić indukcyjnie wyrażenia

Post autor: july04 »

Dzień dobry,
mam do udowodnienia indukcyjnie dwa przypadki, niestety nie wiem jak je rozwiązać.

\(\displaystyle{ (1+2+...+n)(1+1/2+...+1/n) \ge n^2}\)

oraz

\(\displaystyle{ (2n-1)!! \le n^n}\)
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: jak udowidnić indukcyjnie wyrażenia

Post autor: Janusz Tracz »

1:    
2:    
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: jak udowidnić indukcyjnie wyrażenia

Post autor: Premislav »

Pierwsze: udowodnimy indukcyjnie ogólniejszą prawidłowość (nazywa się to nierównością Cauchy'ego-Schwarza), mianowicie w rzeczywistych jest
\(\displaystyle{ \left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\ldots+x_{n}^{2}\right)\left(y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+\ldots+y_{n}^{2}\right)\ge \left(x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\ldots+x_{n}y_{n}\right)^{2}}\)

Dla \(\displaystyle{ n=2}\) ta nierówność sprowadza się dzięki równoważnym przekształceniom do
\(\displaystyle{ \left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\right)\left(y_{1}^{2}+y_{2}^{2}\right)\ge \left(x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}\right)^{2}\\ x_{2}^{2}y_{1}^{2}+x_{1}^{2}y_{2}^{2}-2x_{1}y_{1}x_{2}y_{2}\ge 0\\\left(x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}\right)^{2}\ge 0}\)
co oczywiście jest prawdą.

Przypuśćmy teraz, że dla pewnego \(\displaystyle{ n\in \NN^{+}, \ n\ge 2}\) zachodzi nierówność
\(\displaystyle{ \left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\ldots+x_{n}^{2}\right)\left(y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+\ldots+y_{n}^{2}\right)\ge \left(x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\ldots+x_{n}y_{n}\right)^{2}}\)
Niech teraz \(\displaystyle{ x_{1}, \ldots x_{n+1}, \ y_{1}, \ldots y_{n+1}}\) będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi.
Mamy:
\(\displaystyle{ \left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\ldots+x_{n+1}^{2}\right)\left(y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+\ldots+y_{n+1}^{2}\right)-\left(x_{1}y_{1}+\ldots+x_{n+1}y_{n+1}\right)^{2}\\=\left(x_{1}^{2}+\ldots+x_{n}^{2}\right)\left(y_{1}^{2}+\ldots+y_{n}^{2}\right)-\left(x_{1}y_{1}+\ldots+x_{n}y_{n}\right)^{2}+x_{n+1}^{2}\left(y_{1}^{2}+\ldots+y_{n}^{2}\right)\\+y_{n+1}^{2}\left(x_{1}^{2}+\ldots+x_{n}^{2}\right)+x_{n+1}^{2}y_{n+1}^{2}-x_{n+1}y_{n+1}\left(x_{n+1}y_{n+1}+2x_{1}y_{1}+2x_{2}y_{2}+\ldots+2x_{n}y_{n}\right)\\=\red{\left(x_{1}^{2}+\ldots+x_{n}^{2}\right)\left(y_{1}^{2}+\ldots+y_{n}^{2}\right)-\left(x_{1}y_{1}+\ldots+x_{n}y_{n}\right)^{2}}+\left(x_{n+1}y_{1}-y_{n+1}x_{1}\right)^{2}+\left(x_{n+1}y_{2}-x_{2}y_{n+1}\right)^{2}+\ldots+\left(x_{n+1}y_{n}-x_{n}y_{n+1}\right)^{2}}\)
Czerwone wyrażenie jest nieujemne na mocy założenia indukcyjnego, a dalsze wyrazy są nieujemne jako kwadraty liczb rzeczywistych, co kończy dowód.

Pozostaje zauważyć, że ten podpunkt to szczególny przypadek, w którym
\(\displaystyle{ x_{1}=1, \ x_{2}=2, \ldots x_{n}=n, \ y_{1}=1, \ y_{2}=\frac{1}{2}, \ldots y_{n}=\frac{1}{n}}\).
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22171
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: jak udowidnić indukcyjnie wyrażenia

Post autor: a4karo »

Tu takich skomplikowanych rachunków nie trzeba. Krok indukcyjny idzie tak:
\(\displaystyle{ (1+\dots+n+(n+1))(1+\frac{1}{2}+\dots+\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1})\\
=(1+\dots+n)\left(1+\frac{1}{2}+\dots+\frac{1}{n}\right)+(1+\dots+n)\cdot\frac{1}{n+1}+(n+1)\left(1+\frac{1}{2}+\dots+\frac{1}{n}\right)+1\\
> n^2 +\frac{n}{2}+n\left(1+\frac{1}{2}\right)+1>n^2+2n+1=(n+1)^2}\)
ODPOWIEDZ