Zadanie udowodnij metodą indukcji matematycznej.

[wesky]

Hej, nie potrafię doporowadzić zadań do końca.

Udowodnij metodą indukcji matematycznej, że dla dowolnego \(\displaystyle{ n \in N}\) zachodzi:
1) \(\displaystyle{ 11| 3^{3n+2} + 2^{4n+1} }\)
2) \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} i \cdot 2^{i} = 2 + (n-1) 2^{n+1} }\)

1) Niech \(\displaystyle{ 3^{3n+2} + 2^{4n+1} }\) dla \(\displaystyle{ n \in N}\). Pokażę , że 11 | W(n).

Krok 1. Mamy \(\displaystyle{ W(0)= 3^{2} + 2 = 11 , 11|11}\) więc \(\displaystyle{ 11|W(0)}\).

Krok 2. Zakładam, że \(\displaystyle{ 11|W(n+1)}\) dla pewnego \(\displaystyle{ n \in N}\).

\(\displaystyle{ W(n+1) = 3^{3(n+1)+2} + 2^{4(n+1)+1} = 3^{3n+5} + 2^{4n+5} }\).

Teraz chcę pokazać, że \(\displaystyle{ 11|W(n+1)}\).

\(\displaystyle{ W(n+1) = 3^{3} \cdot 3^{3n+2} + 2^{4} \cdot 2^{4n+1} = 27 \cdot 3^{3n+2} + 16 \cdot 2^{4n+1} = 11 \cdot 3^{3n+2} + 16 \cdot 3^{3n+2} + 11 \cdot 2^{4n+1} + 5 \cdot 2^{4n+1}}\)
W tym momencie nie wiem co dalej zrobić w celu pokazania podzielności przez 11.

2) Niech \(\displaystyle{ L(n) = \sum_{i=1}^{n} i \cdot 2^{i} }\) i \(\displaystyle{ P(n) =2 + (n-1) 2^{n+1} }\) dla \(\displaystyle{ n \in N}\)

Krok 1. Dla n =0
\(\displaystyle{
L(0) = 2
}\)
\(\displaystyle{
P(0) =2
}\)
\(\displaystyle{
L(n) = P(n)
}\)

Krok 2. Zakładam, że dla pewnego n > 0 zachodzi \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} i \cdot 2^{i} = 2 + (n-1) 2^{n+1} }\).
Teraz chcę pokazać, że: \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n+1} i \cdot 2^{i} = 2 + 2n^{n+2} }\)

\(\displaystyle{ L(n+1) = \sum_{i=1}^{n+1} i \cdot 2^{i} = \sum_{i=1}^{n} i \cdot 2^{i} +( n+1) \cdot 2^{n+1} = 2 + (n-1) \cdot 2^{n+1} + (n+1) \cdot 2 ^{n+1} = 2 + 2n ^{n+1} - 2^{n+1} + 2n ^{n+1} + 2 ^{n+1}.}\)
Czy dobrze liczę do tego momentu ?. Nie wiem jak dalej otrzymać \(\displaystyle{ 2 + (n-1) 2^{n+1}}\)

Z góry dziękuję za pomoc.

[Janusz Tracz]

1) Niech \(\displaystyle{ 3^{3n+2} + 2^{4n+1} }\) dla \(\displaystyle{ n \in N}\). Pokażę , że 11 | W(n).

To zdanie dziwnie brzmi, wprowadza jedynie zamieszanie. Nie definiuje ono czym jest \(\displaystyle{ W(n)}\). Proponuję napisać coś w stylu: oznaczmy \(\displaystyle{ 3^{3n+2} + 2^{4n+1} }\) przez \(\displaystyle{ W(n)}\), jeśli już chcemy wprowadzać nowe oznaczenia. Potem można uprzedzić czytelnika, że dowód twierdzenia, iż dla każdego naturalnego \(\displaystyle{ n}\) zachodzi \(\displaystyle{ 11|W(n)}\) przeprowadzę indukcyjnie.

Krok 2. Zakładam, że \(\displaystyle{ 11|W(n+1)}\) dla pewnego \(\displaystyle{ n \in N}\).
...
Teraz chcę pokazać, że \(\displaystyle{ 11|W(n+1)}\).

No to po robocie. Założenie a właściciele ustalenie powinno tyczyć się \(\displaystyle{ n\in\NN}\) takiego, że \(\displaystyle{ 11|W(n)}\). Gdy mamy takie \(\displaystyle{ n}\) w ręku można spróbować pokazać, że \(\displaystyle{ 11|W(n+1)}\). Zatem ustalmy takie \(\displaystyle{ n\in\NN}\), że \(\displaystyle{ 11|W(n)}\) wtedy:

\(\displaystyle{ W(n+1)=\red{11}\cdot \left( 2 \cdot 3^{3n+2}+2^{4n+1}\right)+5\red{W(n) }}\)

No i fajnie. Tym samym pokazaliśmy, że faktycznie \(\displaystyle{ 11|W(n+1)}\) przy wiedzy o tym, że \(\displaystyle{ 11|W(n)}\). Zatem na mocy ZIM kończymy dowód. Jeśli masz wątpliwości skąd takie rozpisanie \(\displaystyle{ W(n+1)}\) to polecam podstawić \(\displaystyle{ W(n)}\) w jawnej postaci takiej jaką zdefiniowaliśmy na początku.

2) Niech \(\displaystyle{ L(n) = \sum_{i=1}^{n} i \cdot 2^{i} }\) i \(\displaystyle{ P(n) =2 + (n-1) 2^{n+1} }\) dla \(\displaystyle{ n \in N}\)

Jak dla mnie definiowanie nowych pojęć jest zbędne. Nie są to, aż tak skomplikowane obiekty aby opłacało się nadawać im specjalne nazwy.

Krok 1. Dla n =0
\(\displaystyle{
L(0) = 2
}\)
\(\displaystyle{
P(0) =2
}\)
\(\displaystyle{
L(n) = P(n)
}\)

Może się czepiam ale czy nie jaśniej było by napisać po prostu, że \(\displaystyle{ L(0)=P(0)}\)? Poza tym wzór który udowadniasz ma więcej sensu dla \(\displaystyle{ n \ge 1}\). Więc piszemy \(\displaystyle{ L(1)=P(1)}\).

Krok 2. Zakładam, że dla pewnego n > 0 zachodzi \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} i \cdot 2^{i} = 2 + (n-1) 2^{n+1} }\).
Teraz chcę pokazać, że: \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n+1} i \cdot 2^{i} = \red{2 + 2n^{n+2}} }\)

Jesteś pewien czy na pewno chcesz to pokazać? Po co wcześniej definiowałeś \(\displaystyle{ L,P}\) skoro teraz nie stosujesz tej notacji?

\(\displaystyle{ L(n+1) = \sum_{i=1}^{n+1} i \cdot 2^{i} = \sum_{i=1}^{n} i \cdot 2^{i} +( n+1) \cdot 2^{n+1} = \red{2 + (n-1) \cdot 2^{n+1} + (n+1) \cdot 2 ^{n+1} }= 2 + 2n ^{n+1} - 2^{n+1} + 2n ^{n+1} + 2 ^{n+1}.}\)
Czy dobrze liczę do tego momentu ?. Nie wiem jak dalej otrzymać \(\displaystyle{ 2 + (n-1) 2^{n+1}}\)

Zaczynam kontynuować od czerwonego napisu:

\(\displaystyle{ \red{2 + (n-1) \cdot 2^{n+1} + (n+1) \cdot 2 ^{n+1} }=2 +2^{n+1} \cdot \left( (n-1) + (n+1) \right) = 2+2^{n+1} \cdot 2n=2+n2^{n+2} }\)
Na mocy ZIM koniec dowodu.