Hej, nie potrafię doporowadzić zadań do końca.
Udowodnij metodą indukcji matematycznej, że dla dowolnego \(\displaystyle{ n \in N}\) zachodzi:
1) \(\displaystyle{ 11| 3^{3n+2} + 2^{4n+1} }\)
2) \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} i \cdot 2^{i} = 2 + (n-1) 2^{n+1} }\)
1) Niech \(\displaystyle{ 3^{3n+2} + 2^{4n+1} }\) dla \(\displaystyle{ n \in N}\). Pokażę , że 11 | W(n).
Krok 1. Mamy \(\displaystyle{ W(0)= 3^{2} + 2 = 11 , 11|11}\) więc \(\displaystyle{ 11|W(0)}\).
Krok 2. Zakładam, że \(\displaystyle{ 11|W(n+1)}\) dla pewnego \(\displaystyle{ n \in N}\).
\(\displaystyle{ W(n+1) = 3^{3(n+1)+2} + 2^{4(n+1)+1} = 3^{3n+5} + 2^{4n+5} }\).
Teraz chcę pokazać, że \(\displaystyle{ 11|W(n+1)}\).
\(\displaystyle{ W(n+1) = 3^{3} \cdot 3^{3n+2} + 2^{4} \cdot 2^{4n+1} = 27 \cdot 3^{3n+2} + 16 \cdot 2^{4n+1} = 11 \cdot 3^{3n+2} + 16 \cdot 3^{3n+2} + 11 \cdot 2^{4n+1} + 5 \cdot 2^{4n+1}}\)
W tym momencie nie wiem co dalej zrobić w celu pokazania podzielności przez 11.
2) Niech \(\displaystyle{ L(n) = \sum_{i=1}^{n} i \cdot 2^{i} }\) i \(\displaystyle{ P(n) =2 + (n-1) 2^{n+1} }\) dla \(\displaystyle{ n \in N}\)
Krok 1. Dla n =0
\(\displaystyle{
L(0) = 2
}\)
\(\displaystyle{
P(0) =2
}\)
\(\displaystyle{
L(n) = P(n)
}\)
Krok 2. Zakładam, że dla pewnego n > 0 zachodzi \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} i \cdot 2^{i} = 2 + (n-1) 2^{n+1} }\).
Teraz chcę pokazać, że: \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n+1} i \cdot 2^{i} = 2 + 2n^{n+2} }\)
\(\displaystyle{ L(n+1) = \sum_{i=1}^{n+1} i \cdot 2^{i} = \sum_{i=1}^{n} i \cdot 2^{i} +( n+1) \cdot 2^{n+1} = 2 + (n-1) \cdot 2^{n+1} + (n+1) \cdot 2 ^{n+1} = 2 + 2n ^{n+1} - 2^{n+1} + 2n ^{n+1} + 2 ^{n+1}.}\)
Czy dobrze liczę do tego momentu ?. Nie wiem jak dalej otrzymać \(\displaystyle{ 2 + (n-1) 2^{n+1}}\)
Z góry dziękuję za pomoc.
Zadanie udowodnij metodą indukcji matematycznej.
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4074
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1395 razy
Re: Zadanie udowodnij metodą indukcji matematycznej.
To zdanie dziwnie brzmi, wprowadza jedynie zamieszanie. Nie definiuje ono czym jest \(\displaystyle{ W(n)}\). Proponuję napisać coś w stylu: oznaczmy \(\displaystyle{ 3^{3n+2} + 2^{4n+1} }\) przez \(\displaystyle{ W(n)}\), jeśli już chcemy wprowadzać nowe oznaczenia. Potem można uprzedzić czytelnika, że dowód twierdzenia, iż dla każdego naturalnego \(\displaystyle{ n}\) zachodzi \(\displaystyle{ 11|W(n)}\) przeprowadzę indukcyjnie.
No to po robocie. Założenie a właściciele ustalenie powinno tyczyć się \(\displaystyle{ n\in\NN}\) takiego, że \(\displaystyle{ 11|W(n)}\). Gdy mamy takie \(\displaystyle{ n}\) w ręku można spróbować pokazać, że \(\displaystyle{ 11|W(n+1)}\). Zatem ustalmy takie \(\displaystyle{ n\in\NN}\), że \(\displaystyle{ 11|W(n)}\) wtedy:
\(\displaystyle{ W(n+1)=\red{11}\cdot \left( 2 \cdot 3^{3n+2}+2^{4n+1}\right)+5\red{W(n) }}\)
No i fajnie. Tym samym pokazaliśmy, że faktycznie \(\displaystyle{ 11|W(n+1)}\) przy wiedzy o tym, że \(\displaystyle{ 11|W(n)}\). Zatem na mocy ZIM kończymy dowód. Jeśli masz wątpliwości skąd takie rozpisanie \(\displaystyle{ W(n+1)}\) to polecam podstawić \(\displaystyle{ W(n)}\) w jawnej postaci takiej jaką zdefiniowaliśmy na początku.
Jak dla mnie definiowanie nowych pojęć jest zbędne. Nie są to, aż tak skomplikowane obiekty aby opłacało się nadawać im specjalne nazwy.
Może się czepiam ale czy nie jaśniej było by napisać po prostu, że \(\displaystyle{ L(0)=P(0)}\)? Poza tym wzór który udowadniasz ma więcej sensu dla \(\displaystyle{ n \ge 1}\). Więc piszemy \(\displaystyle{ L(1)=P(1)}\).
Jesteś pewien czy na pewno chcesz to pokazać? Po co wcześniej definiowałeś \(\displaystyle{ L,P}\) skoro teraz nie stosujesz tej notacji?
Zaczynam kontynuować od czerwonego napisu:wesky pisze: ↑14 maja 2020, o 09:01 \(\displaystyle{ L(n+1) = \sum_{i=1}^{n+1} i \cdot 2^{i} = \sum_{i=1}^{n} i \cdot 2^{i} +( n+1) \cdot 2^{n+1} = \red{2 + (n-1) \cdot 2^{n+1} + (n+1) \cdot 2 ^{n+1} }= 2 + 2n ^{n+1} - 2^{n+1} + 2n ^{n+1} + 2 ^{n+1}.}\)
Czy dobrze liczę do tego momentu ?. Nie wiem jak dalej otrzymać \(\displaystyle{ 2 + (n-1) 2^{n+1}}\)
\(\displaystyle{ \red{2 + (n-1) \cdot 2^{n+1} + (n+1) \cdot 2 ^{n+1} }=2 +2^{n+1} \cdot \left( (n-1) + (n+1) \right) = 2+2^{n+1} \cdot 2n=2+n2^{n+2} }\)
Na mocy ZIM koniec dowodu.