Udowodnić podzielność wyrażenia przez 3

[mirekbirowski]

Zadanie o treści: ,,Stosując zasadę indukcji udowodnić, że dla dowolnej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\) liczba postaci \(\displaystyle{ 10 ^{n} + 4 ^{n} - 2}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ 3}\).""

\(\displaystyle{ \forall \ n \in \NN \ 10 ^{n} + 4 ^{n} - 2 = 3k, \ k \in \mathbb{Z} }\)

Przyjmijmy \(\displaystyle{ A _{(n)} = 10 ^{n} + 4 ^{n} - 2.}\)

Dla \(\displaystyle{ A _{(1)}}\) mamy:
\(\displaystyle{ A _{(1)} = 10 + 4 - 2 = 12 = 3 \cdot 4 = 3k, \ k \in \mathbb{Z}}\).

Niech \(\displaystyle{ n}\) będzie dowolną liczbą naturalną. Załóżmy, że \(\displaystyle{ A _{(n)} = 3k, \ k \in \mathbb{Z}}\). Udowodnijmy, że \(\displaystyle{ A _{(n + 1)} = 3k, \ k \in \mathbb{Z}.}\)

\(\displaystyle{ A _{(n + 1)} = 10 ^{n+1} + 4 ^{n+1} - 2 = \\
= 10 ^{n} \cdot 10 + 4 ^{n} \cdot 4 -2 = \\
= (9 + 1) \cdot 10 ^{n} + (3 + 1) \cdot 4 ^{n} -2 = \\
= 9 \cdot 10 ^{n} + 10 ^{n} + 3 \cdot 4 ^{n} + 4 ^{n} -2 = \\
= 3(3 \cdot 10 ^{n}) + 3(4 ^{n}) + (10 ^{n} + 4 ^{n} -2)}\)

Wyrażenia \(\displaystyle{ 3(3 \cdot 10 ^{n})}\) oraz \(\displaystyle{ 3(4 ^{n})}\) są podzielne przez \(\displaystyle{ 3}\) ponieważ posiadają czynnik podzielny przez \(\displaystyle{ 3}\).
Wyrażenie \(\displaystyle{ (10 ^{n} + 4 ^{n} -2)}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ 3}\) z założenia.

Z zasady indukcji wynika teza twierdzenia.

Czy dowód pozostawiony w takiej formie jest poprawny?

[Jan Kraszewski]

Prawie, trzeba poprawić pewne sformułowania.

\(\displaystyle{ \forall \ n \in \NN \ 10 ^{n} + 4 ^{n} - 2 = 3k, \ k \in \mathbb{Z} }\)

Formalnie rzecz biorą to \(\displaystyle{ k}\) nie wygląda dobrze. Zdecydowanie lepiej napisać albo bardzo formalnie

\(\displaystyle{ \forall n \in \NN \ \exists k \in \mathbb{Z}\ 10 ^{n} + 4 ^{n} - 2 = 3k, }\)

albo trochę mniej formalnie

\(\displaystyle{ \forall \ n \in \NN \left( 10 ^{n} + 4 ^{n} - 2 = 3k\ \text{ dla pewnego } \ k \in \mathbb{Z}\right) }\)

Przyjmijmy \(\displaystyle{ A _{(n)} = 10 ^{n} + 4 ^{n} - 2.}\)
Niech \(\displaystyle{ n}\) będzie dowolną liczbą naturalną. Załóżmy, że \(\displaystyle{ A _{(n)} = 3k, \ k \in \mathbb{Z}}\). Udowodnijmy, że \(\displaystyle{ A _{(n + 1)} = 3k, \ k \in \mathbb{Z}.}\)

No i tu jest właśnie niedobrze formalnie mimo dobrych intencji ze względu na to, że dwa razy używasz tej samej literki \(\displaystyle{ k}\) w różnych znaczeniach (tak naprawdę napisałeś, że chcesz pokazać \(\displaystyle{ A _{(n)}=A _{(n + 1)}}\)...). Powinno być

Niech \(\displaystyle{ n}\) będzie dowolną liczbą naturalną. Załóżmy, że istnieje takie \(\displaystyle{ k \in \mathbb{Z}}\), że \(\displaystyle{ A _{(n)} = 3k}\). Udowodnijmy, że istnieje takie \(\displaystyle{ m \in \mathbb{Z}}\), że \(\displaystyle{ A _{(n + 1)} = 3m}\).

Potem jest już OK.

JK