Indukcja z dwumianem Newtona

[Tupensep]

Mam rozwiązane zadanie do pewnego momentu, resztę niby mam podpowiedź czego się chwycić ale nie umiem tego przeprowadzić

Należy udowodnić:
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} k^2 {n \choose k} = n(n+1)2^{n-2} }\)

W tezie dochodzę do momentu po lewej stronie (po zmianie indeksu po drodze)
\(\displaystyle{ \sum_{m=0}^{n} (m+1) ^{2} {n \choose m} + n(n+1)2 ^{n-2} }\)
Dalej trzeba podobno skorzystać z różniczkowania, ale nie bardzo wiem jak. Podobno przydatny ma być wzór \(\displaystyle{ \sum_{m=0}^{n} {n \choose m} = 2^{n} }\)
Pomoże ktoś?

[Premislav]

Ja to nie wiem, ale wykorzystałbym tożsamość \(\displaystyle{ {n\choose k}=\frac{n}{k}{n-1\choose k-1}}\) i równość ze wskazówki. Mamy:
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n}k^{2}{n\choose k}=\sum_{k=1}^{n}k^{2}{n\choose k}=\sum_{k=1}^{n}k^{2}\cdot \frac{n}{k}{n-1\choose k-1}\\=n\sum_{k=1}^{n}k{n-1\choose k-1}=n\sum_{k=1}^{n}(k-1){n-1\choose k-1}+n\sum_{k=1}^{n}{n-1\choose k-1}\\=n\sum_{k=2}^{n}(k-1){n-1\choose k-1}+n\sum_{m=0}^{n-1}{n-1\choose m}\\=n(n-1)\sum_{k=2}^{n}{n-2\choose k-2}+n2^{n-1}\\=n(n-1)\sum_{m=0}^{n-2}{n-2\choose m}+n2^{n-1}=n(n-1)2^{n-2}+n2^{n-1}=n(n+1)2^{n-2}}\)

Indukcja nie ułatwia rozwiązania zadania, a jeśli chodzi o różniczkowanie, to można zrobić tak:
wziąć równość (wynika bezpośrednio ze wzoru dwumianowego Newtona)
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n}{n\choose k}x^{k}=(1+x)^{n}}\), zróżniczkować ją stronami, co daje
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n}k{n\choose k}x^{k-1}=n(1+x)^{n-1} \ (*)}\), zróżniczkować stronami drugi raz, otrzymując
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n}k(k-1){n\choose k}x^{k-2}=n(n-1)(1+x)^{n-2} \ (**)}\),
dodać stronami równość \(\displaystyle{ (*)}\) i \(\displaystyle{ (**)}\) i wstawić \(\displaystyle{ x:=1}\).

[Tupensep]

Dziękuję, drugi sposób jest jasny i zrozumiały, niemniej w treści zadania była informacja o wykorzystaniu indukcji matematycznej więc muszę próbować dalej

EDIT: Udało się tak jak pisałam i za pomocą różniczkowania