Na wstępie chciałbym powitać forum
Mam problem z jednym z podpunktów bardziej złożonego zadania.
Zadanie: Udowodnij że wzór \(\displaystyle{ C(k)=\frac{1}{6}(k^{6}+2k^{2}+3k^{4}) }\)dla każdego \(\displaystyle{ k}\) będącego liczbą naturalną wzór \(\displaystyle{ C(k)}\) przyjmuje wartości całkowite.
Zadanie można wykonać metodą indukcji matematycznej lub metodą reszt. Niestety żadną metodą nie znalazłem dowodu.
Moje wypociny:
\(\displaystyle{ 6 | k^{6}+2k^{2}+3k^{4}}\)
Sprawdzenie:
\(\displaystyle{ 1^{6}+2*1^{2}+3*1^{4} = 6}\)
Założenia:
\(\displaystyle{ k^{6}+2k^{2}+3k^{4} = 6L}\) gdzie L jest liczba całkowitą
Teza:
\(\displaystyle{ (k+1)^{6}+2(k+1)^{2}+3(k+1)^{4} = 6L_1}\) gdzie \(\displaystyle{ L_1}\) jest liczba całkowitą
\(\displaystyle{ (k+1)^{6}+6(\frac{1}{3}(k+1)^{2}+\frac{1}{2}(k+1)^{4})}\)
I w tym momencie nie wiem co dalej, jak to pomnożę to wychodzi takie coś
\(\displaystyle{ k^{6}+6k^{5}+18k^{4}+32k^{3}+35k^{2}+22k+6}\)
Z góry dziękuje za odpowiedź udowadnianie nie jest moją mocną stroną
Zadanie typu udowodnij prawdziwość tezy
Zadanie typu udowodnij prawdziwość tezy
Ostatnio zmieniony 5 sty 2020, o 16:37 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Temat umieszczony w złym dziale.
Powód: Poprawa wiadomości. Temat umieszczony w złym dziale.
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: Zadanie typu udowodnij prawdziwość tezy
Zauważmy, że
\(\displaystyle{ k^{6}+2k^{2}+3k^{4}=k^{2}\left(k^{2}+1\right)\left(k^{2}+2\right)}\)
Wśród dwóch kolejnych liczb naturalnych jest podzielna przez \(\displaystyle{ 2}\), a wśród trzech kolejnych liczb naturalnych jest podzielna przez \(\displaystyle{ 3}\). A gdy jakaś liczba całkowita dzieli się przez \(\displaystyle{ 2}\) i \(\displaystyle{ 3}\), to jest też podzielna przez \(\displaystyle{ 2\cdot 3=6}\), gdyż \(\displaystyle{ \NWD(2,3)=1}\). To tyle, Boga nie ma, pozdrawiam.
\(\displaystyle{ k^{6}+2k^{2}+3k^{4}=k^{2}\left(k^{2}+1\right)\left(k^{2}+2\right)}\)
Wśród dwóch kolejnych liczb naturalnych jest podzielna przez \(\displaystyle{ 2}\), a wśród trzech kolejnych liczb naturalnych jest podzielna przez \(\displaystyle{ 3}\). A gdy jakaś liczba całkowita dzieli się przez \(\displaystyle{ 2}\) i \(\displaystyle{ 3}\), to jest też podzielna przez \(\displaystyle{ 2\cdot 3=6}\), gdyż \(\displaystyle{ \NWD(2,3)=1}\). To tyle, Boga nie ma, pozdrawiam.
- Gosda
- Użytkownik
- Posty: 340
- Rejestracja: 29 cze 2019, o 19:46
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Oulu
- Podziękował: 42 razy
- Pomógł: 60 razy
Re: Zadanie typu udowodnij prawdziwość tezy
Albo prościej zauważmy, że
\(\displaystyle{ C(k) = {k^2+2 \choose 3}}\)
a dwumian Newtona przyjmuje naturalne wartości (kiedy góra i dołem jest liczbą naturalną).
\(\displaystyle{ C(k) = {k^2+2 \choose 3}}\)
a dwumian Newtona przyjmuje naturalne wartości (kiedy góra i dołem jest liczbą naturalną).
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4074
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1395 razy
Re: Zadanie typu udowodnij prawdziwość tezy
Można też zauważyć, że:
\(\displaystyle{ k^{6}+2k^{2}+3k^{4}= 720 {k \choose 6}+ 1800{k \choose 5}+1632{k \choose 4}+648{k \choose 3}+108{k \choose 2}+6{k \choose 1} }\)
Poza tym \(\displaystyle{ \NWD(720,1800,1632,648,108,6)=6}\) więc nie dość, że \(\displaystyle{ 6|k^{6}+2k^{2}+3k^{4}}\) to \(\displaystyle{ 6}\) jest największą liczbą całkowitą taką, że dla każdego \(\displaystyle{ k}\) liczba
\(\displaystyle{ \frac{k^{6}+2k^{2}+3k^{4}}{6}\in\ZZ }\)
\(\displaystyle{ k^{6}+2k^{2}+3k^{4}= 720 {k \choose 6}+ 1800{k \choose 5}+1632{k \choose 4}+648{k \choose 3}+108{k \choose 2}+6{k \choose 1} }\)
Poza tym \(\displaystyle{ \NWD(720,1800,1632,648,108,6)=6}\) więc nie dość, że \(\displaystyle{ 6|k^{6}+2k^{2}+3k^{4}}\) to \(\displaystyle{ 6}\) jest największą liczbą całkowitą taką, że dla każdego \(\displaystyle{ k}\) liczba
\(\displaystyle{ \frac{k^{6}+2k^{2}+3k^{4}}{6}\in\ZZ }\)