Zadanie typu udowodnij prawdziwość tezy

Ze względu na specyfikę metody - osobny dział.
hugenota
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1
Rejestracja: 1 lip 2015, o 19:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Mielec

Zadanie typu udowodnij prawdziwość tezy

Post autor: hugenota »

Na wstępie chciałbym powitać forum ;-)

Mam problem z jednym z podpunktów bardziej złożonego zadania.

Zadanie: Udowodnij że wzór \(\displaystyle{ C(k)=\frac{1}{6}(k^{6}+2k^{2}+3k^{4}) }\)dla każdego \(\displaystyle{ k}\) będącego liczbą naturalną wzór \(\displaystyle{ C(k)}\) przyjmuje wartości całkowite.
Zadanie można wykonać metodą indukcji matematycznej lub metodą reszt. Niestety żadną metodą nie znalazłem dowodu.

Moje wypociny:
\(\displaystyle{ 6 | k^{6}+2k^{2}+3k^{4}}\)

Sprawdzenie:
\(\displaystyle{ 1^{6}+2*1^{2}+3*1^{4} = 6}\)

Założenia:
\(\displaystyle{ k^{6}+2k^{2}+3k^{4} = 6L}\) gdzie L jest liczba całkowitą

Teza:

\(\displaystyle{ (k+1)^{6}+2(k+1)^{2}+3(k+1)^{4} = 6L_1}\) gdzie \(\displaystyle{ L_1}\) jest liczba całkowitą

\(\displaystyle{ (k+1)^{6}+6(\frac{1}{3}(k+1)^{2}+\frac{1}{2}(k+1)^{4})}\)

I w tym momencie nie wiem co dalej, jak to pomnożę to wychodzi takie coś

\(\displaystyle{ k^{6}+6k^{5}+18k^{4}+32k^{3}+35k^{2}+22k+6}\)

Z góry dziękuje za odpowiedź ;-) udowadnianie nie jest moją mocną stroną
Ostatnio zmieniony 5 sty 2020, o 16:37 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Temat umieszczony w złym dziale.
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Zadanie typu udowodnij prawdziwość tezy

Post autor: Premislav »

Zauważmy, że
\(\displaystyle{ k^{6}+2k^{2}+3k^{4}=k^{2}\left(k^{2}+1\right)\left(k^{2}+2\right)}\)
Wśród dwóch kolejnych liczb naturalnych jest podzielna przez \(\displaystyle{ 2}\), a wśród trzech kolejnych liczb naturalnych jest podzielna przez \(\displaystyle{ 3}\). A gdy jakaś liczba całkowita dzieli się przez \(\displaystyle{ 2}\) i \(\displaystyle{ 3}\), to jest też podzielna przez \(\displaystyle{ 2\cdot 3=6}\), gdyż \(\displaystyle{ \NWD(2,3)=1}\). To tyle, Boga nie ma, pozdrawiam.
Awatar użytkownika
Gosda
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 340
Rejestracja: 29 cze 2019, o 19:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Oulu
Podziękował: 42 razy
Pomógł: 60 razy

Re: Zadanie typu udowodnij prawdziwość tezy

Post autor: Gosda »

Albo prościej zauważmy, że

\(\displaystyle{ C(k) = {k^2+2 \choose 3}}\)

a dwumian Newtona przyjmuje naturalne wartości (kiedy góra i dołem jest liczbą naturalną).
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Zadanie typu udowodnij prawdziwość tezy

Post autor: Janusz Tracz »

Można też zauważyć, że:

\(\displaystyle{ k^{6}+2k^{2}+3k^{4}= 720 {k \choose 6}+ 1800{k \choose 5}+1632{k \choose 4}+648{k \choose 3}+108{k \choose 2}+6{k \choose 1} }\)

Poza tym \(\displaystyle{ \NWD(720,1800,1632,648,108,6)=6}\) więc nie dość, że \(\displaystyle{ 6|k^{6}+2k^{2}+3k^{4}}\) to \(\displaystyle{ 6}\) jest największą liczbą całkowitą taką, że dla każdego \(\displaystyle{ k}\) liczba

\(\displaystyle{ \frac{k^{6}+2k^{2}+3k^{4}}{6}\in\ZZ }\)
Awatar użytkownika
Gosda
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 340
Rejestracja: 29 cze 2019, o 19:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Oulu
Podziękował: 42 razy
Pomógł: 60 razy

Re: Zadanie typu udowodnij prawdziwość tezy

Post autor: Gosda »

Jeszcze szybciej można to zauważyć podstawiając \(\displaystyle{ k = 1}\) ;)
ODPOWIEDZ