Indukcja matematyczna

Ze względu na specyfikę metody - osobny dział.
agnieszka043
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15
Rejestracja: 15 gru 2019, o 20:24
Płeć: Kobieta
wiek: 19

Indukcja matematyczna

Post autor: agnieszka043 »

1.Indukcyjnie wykazać że dla każdej liczby nat. \(\displaystyle{ n \ge 1}\) mamy \(\displaystyle{ \frac{1}{ 2^{2} -1 } +...+ \frac{1}{(n+1)^{2}-1 } = \frac{3}{4} - \frac{1}{2(n+1)} - \frac{1}{2(n+2)} }\)

Krok początkowy zrobiłam, zatrzymałam się na dowodzie na momencie \(\displaystyle{ \frac{3}{4} - \frac{1}{2(n+1)} - \frac{1}{2(n2)} + \frac{1}{(n+1)^{2}-1 }=\frac{3}{4} - \frac{1}{2(n+2)} - \frac{1}{2(n+3)}}\) i wychodzi sprzeczność, nie wiem jak to rozwiązać...
2. Indukcyjnie wykazać że dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\) zachodzi nierówność \(\displaystyle{ 1^{5}+ 2^{5} + 3^{5} +...+ n^{5} < \frac{ (n^{3})(n+1)^{3}}{6} }\)
w kroku początkowym wychodzi mi, że \(\displaystyle{ 0<0}\) co jest nieprawdą...
Pomocy
Ostatnio zmieniony 15 gru 2019, o 20:45 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm . Zły dział.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34128
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Indukcja matematyczna

Post autor: Jan Kraszewski »

W obu przypadkach pokaż rachunki (a my wskażemy błędy).

I koniecznie używaj tagów [latex][/latex].

JK
agnieszka043
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15
Rejestracja: 15 gru 2019, o 20:24
Płeć: Kobieta
wiek: 19

Re: Indukcja matematyczna

Post autor: agnieszka043 »

Jan Kraszewski pisze: 15 gru 2019, o 20:47 W obu przypadkach pokaż rachunki (a my wskażemy błędy).

I koniecznie używaj tagów [latex][/latex].

JK
W zadaniu drugim nie wiem jak ruszyć ponieważ, w kroku początkowym gdy wezmę n=0 wychodzi 0<0 co nie jest prawdą, gdyby nie ten błąd to dalej wiem ruszyć ale utknęłam przy tym..

W zadaniu pierwszym z założenia wyszło mi \(\displaystyle{ \frac{3}{4}- \frac{1}{2(n+1)}- \frac{1}{2(n+2)}+ \frac{1}{(n+1)^{2}-1}= \frac{3}{4}- \frac{1}{2(n+2)}- \frac{1}{2(n+3)}}\) i to wychodzi sprzeczność.. :evil:
Ostatnio zmieniony 15 gru 2019, o 22:07 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Używaj SAME tagi [latex] [/latex].
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Indukcja matematyczna

Post autor: a4karo »

Ale przecież ten wzó nie może być prawdziwy dla `n=0`.
Zapis `1^5+2^2+...+n^5` oznacza , że przynajmniej jeden wyraz tam jest
agnieszka043
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15
Rejestracja: 15 gru 2019, o 20:24
Płeć: Kobieta
wiek: 19

Re: Indukcja matematyczna

Post autor: agnieszka043 »

a4karo pisze: 15 gru 2019, o 21:00 Ale przecież ten wzó nie może być prawdziwy dla `n=0`.
Zapis `1^5+2^2+...+n^5` oznacza , że przynajmniej jeden wyraz tam jest
Ale przecież jest nnapisane "dla każdej liczby naturalnej" a więc n=0?
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Indukcja matematyczna

Post autor: a4karo »

TO wtedy musisz przyjąć konwencję, że w zapisie po lewej stronie jest ZERO wyrazów. I wtedy równośc też jest prawdziwa.
agnieszka043
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15
Rejestracja: 15 gru 2019, o 20:24
Płeć: Kobieta
wiek: 19

Re: Indukcja matematyczna

Post autor: agnieszka043 »

a4karo pisze: 15 gru 2019, o 21:02 TO wtedy musisz przyjąć konwencję, że w zapisie po lewej stronie jest ZERO wyrazów. I wtedy równośc też jest prawdziwa.
a co z zadaniem 1?
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Indukcja matematyczna

Post autor: a4karo »

POkaż rachunki
ODPOWIEDZ