Cześć!
Ciężko idzie mi ze zrozumieniem sedna dowodu indukcyjnego. Odtwarzam go mechanicznie ale w ogóle nie czuję. Coś mi się kołacze po głowie ale ciągle mnie to gryzie. Otóż sprawdzam pierwszy warunek dla n=1 czy badany wzór jest prawdziwy. I to jest jasne. Natomiast największy problem dla mnie to krok drugi, a konkretnie założenie, że dla pewnego k dowodzony wzór jest prawdziwy. Jak to rozumieć? Zakładam, że dowodzony wzór jest prawdziwy. I później korzystam z niego do udowodnienia, że jest też prawdziwy dla k+1. Tak po prostu sobie zakładam? O co tu chodzi?
Sedno indukcji
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4085
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1398 razy
Re: Sedno indukcji
W drugim kroku sprawdzasz prawdziwość implikacji jako całości, patrzysz czy prawdziwe jest zdanie
\(\displaystyle{ \left( \forall n\in\mathbb{N}\right) \left( \phi(n)\Rightarrow\phi(n+1)\right) }\)
jako całość. To zdanie ma formę twierdzenie, że dla każdego \(\displaystyle{ n}\) coś tam... zatem ustalasz sobie dowolne \(\displaystyle{ n}\) takie, że \(\displaystyle{ \phi(n)}\) i sprawdzasz czy z tego jesteś w stanie coś powiedzieć o \(\displaystyle{ \phi(n+1)}\).
Jak udowodnisz pierwszy i drugi krok to wiesz, że \(\displaystyle{ \phi(1)}\) jest prawdą jak również (skoro zachodzi dla każdego to dla szczególnych też)
\(\displaystyle{ \phi(1) \Rightarrow \phi(2)}\)
\(\displaystyle{ \phi(2) \Rightarrow \phi(3)}\)
itd. Zatem zdanie \(\displaystyle{ \left( \forall n\in\mathbb{N}\right) \phi(n) }\) jest udowodnione.
Może i nie jest to ultra ścisłe wyjaśnienie ale uważam, że oddaje to sedno indukcji (przynajmniej tej w podstawowej wersji).
\(\displaystyle{ \left( \forall n\in\mathbb{N}\right) \left( \phi(n)\Rightarrow\phi(n+1)\right) }\)
jako całość. To zdanie ma formę twierdzenie, że dla każdego \(\displaystyle{ n}\) coś tam... zatem ustalasz sobie dowolne \(\displaystyle{ n}\) takie, że \(\displaystyle{ \phi(n)}\) i sprawdzasz czy z tego jesteś w stanie coś powiedzieć o \(\displaystyle{ \phi(n+1)}\).
Jak udowodnisz pierwszy i drugi krok to wiesz, że \(\displaystyle{ \phi(1)}\) jest prawdą jak również (skoro zachodzi dla każdego to dla szczególnych też)
\(\displaystyle{ \phi(1) \Rightarrow \phi(2)}\)
\(\displaystyle{ \phi(2) \Rightarrow \phi(3)}\)
itd. Zatem zdanie \(\displaystyle{ \left( \forall n\in\mathbb{N}\right) \phi(n) }\) jest udowodnione.
Może i nie jest to ultra ścisłe wyjaśnienie ale uważam, że oddaje to sedno indukcji (przynajmniej tej w podstawowej wersji).
-
- Użytkownik
- Posty: 22229
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3757 razy
Re: Sedno indukcji
W drugim kroku nie zakładasz prawdziwości zdania \(\phi(n)\). Pokazujesz tylko, że jeżeli "jakimś cudem" \(\phi(n)\) jest prawdziwe, to prawdziwe jest również \(\phi(n+1)\). Jeżeli to Ci się uda, to zasada indukcji mówi, że \(\phi\) jest prawdziwe dla wszystkich \(n\)
-
- Administrator
- Posty: 34330
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5204 razy
Re: Sedno indukcji
Zrobiłbyś coś, co nie ma sensu.
Warto pamiętać, że to, co nazywasz "dowodem indukcyjnym" jest tak naprawdę sprawdzeniem założeń Zasady Indukcji Matematycznej.
Możesz zerknąć tu.
JK