Udowodnić, że zachodzi nierówność
: 2 lis 2019, o 13:04
Udowodnij, że dla każdego \(\displaystyle{ n \in \NN}\) zachodzi nierówność:
\(\displaystyle{ \frac{1}{n} + \frac{1}{n+1} + ... + \frac{1}{2n} \ge \frac{7}{12} }\)
Zadanie próbowałem rozwiązać stosując metodę indukcji matematycznej. Po sformułowaniu bazy i kroku indukcyjnego obustronnie dodałem:
\(\displaystyle{ - \frac{1}{n} + \frac{1}{2n+1} + \frac{1}{2n+2} }\)
Wtedy wyszło:
\(\displaystyle{ \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + ... + \frac{1}{2n+2} \ge \frac{7}{12} - \frac{1}{n} + \frac{1}{2n+1} + \frac{1}{2n+2} }\)
Więc lewa strona jest taka jaka być powinna, ale problemem jest strona prawa. Sprowadzając wyrażenie z prawej strony pod wspólny mianownik:
\(\displaystyle{ \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + ... + \frac{1}{2n+2} \ge \frac{7}{12} - \frac{3n+2}{n(2n+1)(2n+2)} }\)
Gdyby okazało się, że wyrażenie, które dodaję obustronnie było dodatnie zadanie byłoby zrobione. Niestety wychodzi na to, że jest ujemne i nie wiem co dalej zrobić.
Proszę o pomoc i pozdrawiam,
Damian
\(\displaystyle{ \frac{1}{n} + \frac{1}{n+1} + ... + \frac{1}{2n} \ge \frac{7}{12} }\)
Zadanie próbowałem rozwiązać stosując metodę indukcji matematycznej. Po sformułowaniu bazy i kroku indukcyjnego obustronnie dodałem:
\(\displaystyle{ - \frac{1}{n} + \frac{1}{2n+1} + \frac{1}{2n+2} }\)
Wtedy wyszło:
\(\displaystyle{ \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + ... + \frac{1}{2n+2} \ge \frac{7}{12} - \frac{1}{n} + \frac{1}{2n+1} + \frac{1}{2n+2} }\)
Więc lewa strona jest taka jaka być powinna, ale problemem jest strona prawa. Sprowadzając wyrażenie z prawej strony pod wspólny mianownik:
\(\displaystyle{ \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + ... + \frac{1}{2n+2} \ge \frac{7}{12} - \frac{3n+2}{n(2n+1)(2n+2)} }\)
Gdyby okazało się, że wyrażenie, które dodaję obustronnie było dodatnie zadanie byłoby zrobione. Niestety wychodzi na to, że jest ujemne i nie wiem co dalej zrobić.
Proszę o pomoc i pozdrawiam,
Damian