Udowodnić, że zachodzi nierówność

Ze względu na specyfikę metody - osobny dział.
MlodyMatematykAmator
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 55
Rejestracja: 23 mar 2019, o 17:45
Płeć: Mężczyzna
wiek: 19
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 16 razy

Udowodnić, że zachodzi nierówność

Post autor: MlodyMatematykAmator » 2 lis 2019, o 13:04

Udowodnij, że dla każdego \(\displaystyle{ n \in \NN}\) zachodzi nierówność:

\(\displaystyle{ \frac{1}{n} + \frac{1}{n+1} + ... + \frac{1}{2n} \ge \frac{7}{12} }\)

Zadanie próbowałem rozwiązać stosując metodę indukcji matematycznej. Po sformułowaniu bazy i kroku indukcyjnego obustronnie dodałem:

\(\displaystyle{ - \frac{1}{n} + \frac{1}{2n+1} + \frac{1}{2n+2} }\)

Wtedy wyszło:

\(\displaystyle{ \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + ... + \frac{1}{2n+2} \ge \frac{7}{12} - \frac{1}{n} + \frac{1}{2n+1} + \frac{1}{2n+2} }\)

Więc lewa strona jest taka jaka być powinna, ale problemem jest strona prawa. Sprowadzając wyrażenie z prawej strony pod wspólny mianownik:

\(\displaystyle{ \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + ... + \frac{1}{2n+2} \ge \frac{7}{12} - \frac{3n+2}{n(2n+1)(2n+2)} }\)

Gdyby okazało się, że wyrażenie, które dodaję obustronnie było dodatnie zadanie byłoby zrobione. Niestety wychodzi na to, że jest ujemne i nie wiem co dalej zrobić.

Proszę o pomoc i pozdrawiam,
Damian
Ostatnio zmieniony 2 lis 2019, o 16:33 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14618
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 96 razy
Pomógł: 4814 razy

Re: Udowodnić, że zachodzi nierówność

Post autor: Premislav » 2 lis 2019, o 13:12

Ż nierówności między średnią arytmetyczną a harmoniczną:
\(\displaystyle{ \frac{\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+\ldots+\frac{1}{2n}}{n+1}>\frac{n+1}{n+(n+1)+\ldots+2n}=\frac{n+1}{\frac{2n(2n+1)}{2}-\frac{n(n-1)}{2}}\\=\frac{2n+2}{3n^{2}+3n}=\frac{2}{3n}}\)
a więc
\(\displaystyle{ \frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+\ldots+\frac{1}{2n}>\frac{2(n+1)}{3n}}\)
i pozostaje wykazać, że w całkowitych dodatnich jest
\(\displaystyle{ \frac{2(n+1)}{3n}\ge \frac{7}{12}}\).

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2613
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 69 razy
Pomógł: 822 razy

Re: Udowodnić, że zachodzi nierówność

Post autor: Janusz Tracz » 2 lis 2019, o 13:34

Za pomocą indukcji się nie da do póki nie wzmocnisz tezy indukcyjnej można by spróbować za pomocą indukcji udowodnić nierówność mocniejszą np:

\(\displaystyle{ \frac{1}{n} + \frac{1}{n+1} + ... + \frac{1}{2n} \ge \frac{7}{12}+ \frac{1}{ \alpha n} }\)

można by spróbować tak dobrać \(\displaystyle{ \alpha>0 }\) (jakaś "duża" liczba), że indukcja przejdzie a wtedy z przechodniości nierówności dostajesz tezę od razu.

Albo inaczej (ale bez indukcji):

\(\displaystyle{ \bullet}\) Ciąg \(\displaystyle{ \frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+\ldots+\frac{1}{2n}}\) jest malejący
Dowód:    
\(\displaystyle{ \bullet}\) Ciąg \(\displaystyle{ \frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+\ldots+\frac{1}{2n}}\) dąży do \(\displaystyle{ \ln 2}\)
Dowód:    
Skoro \(\displaystyle{ \ln 2> \frac{7}{12} }\) dowód zostaje zakończony.

ODPOWIEDZ