Udowodnić nierówność

[F3NRIR]

Udowodnić nierówność metodą indukcji dla dowolnej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n \ge 2}\)

\(\displaystyle{ \frac{4 ^{n} }{n+1} < \frac{(2n)!}{(n!) ^{2} } }\)

Doszedłem do momentu:
Założenie: \(\displaystyle{ \frac{4 ^{n} }{n+1} < \frac{(2n)!}{(n!) ^{2} } }\)
Teza: \(\displaystyle{ \frac{4 ^{n+1} }{n+2} < \frac{(2n+2)!}{((n+1)!) ^{2} } }\)
Dowód:\(\displaystyle{ \frac{2n!(2n+2)(2n+1)}{(n!) ^{2}(n+1) ^{2} } > \frac{4^n}{n+1} \cdot \frac{(2n+2)(2n+1)}{(n+1) ^{2} } }\)
i nie wiem co dalej z tym zrobić.

I może mi ktoś dać wskazówkę jak zabrać się za coś takiego korzystając z indukcji? :
Znaleźć wszystkie liczby naturalne \(\displaystyle{ n}\), dla których prawdziwa jest nierówność
\(\displaystyle{ 2 ^{x} >n ^{2}}\)

[Jan Kraszewski]

Założenie: \(\displaystyle{ \frac{4 ^{n} }{n+1} < \frac{(2n)!}{(n!) ^{2} } }\)
Teza: \(\displaystyle{ \frac{4 ^{n+1} }{n+2} < \frac{(2n+2)!}{((n+1)!) ^{2} } }\)

To nie jest "założenie" i "teza", tylko "założenie kroku indukcyjnego" i "teza kroku indukcyjnego". Warto rozumieć tę różnicę.

Dowód:\(\displaystyle{ \frac{2n!(2n+2)(2n+1)}{(n!) ^{2}(n+1) ^{2} } > \frac{4^n}{n+1} \cdot \frac{(2n+2)(2n+1)}{(n+1) ^{2} } }\)
i nie wiem co dalej z tym zrobić.

Na początku w liczniku zgubiłeś jedną parą nawiasów. Teraz uprość trochę, potem napisz, co chcesz żeby Ci wyszło (ze znakiem zapytania) i poprzekształcaj równoważnie (zaznaczając to w komentarzu) otrzymaną nierówność.

I może mi ktoś dać wskazówkę jak zabrać się za coś takiego korzystając z indukcji? :
Znaleźć wszystkie liczby naturalne \(\displaystyle{ n}\), dla których prawdziwa jest nierówność
\(\displaystyle{ 2 ^{x} >n ^{2}}\)

Spróbuj przeprowadzić dowód indukcyjne, że zawsze (co Ci się nie uda...). Wtedy w dowodzie kroku indukcyjnego zobaczysz, od jakiego \(\displaystyle{ n}\) da się wykonać krok indukcyjny, co pozwoli Ci przeformułować tezę twierdzenia na poprawną.

JK

[a4karo]

I może mi ktoś dać wskazówkę jak zabrać się za coś takiego korzystając z indukcji? :
Znaleźć wszystkie liczby naturalne \(\displaystyle{ n}\), dla których prawdziwa jest nierówność
\(\displaystyle{ 2 ^{x} >n ^{2}}\)

Spróbuj przeprowadzić dowód indukcyjne, że zawsze (co Ci się nie uda...). Wtedy w dowodzie kroku indukcyjnego zobaczysz, od jakiego \(\displaystyle{ n}\) da się wykonać krok indukcyjny, co pozwoli Ci przeformułować tezę twierdzenia na poprawną.

JK

A tam na pewno jest \(2^x\)?

[Jan Kraszewski]

Nie, tam jest pewnie \(\displaystyle{ 2^n}\)... (przynajmniej ja tak założyłem).

JK