Udowodnić, że średnia geometryczna...

[ullortnaci]

Udowodnić, że średnia geometryczna n liczb rzeczywistych nieujemnych (\(\displaystyle{ n \ge 2}\)) jest nie większa od średniej arytmetycznej tych liczb, tzn. \(\displaystyle{ \sqrt[n]{x _{1} \cdot x _{2} \cdot ... \cdot x _{n} } \le \frac{ x _{1}+x _{2}+...+x _{n}}{n} }\)

[Premislav]

Istnieje wiele dowodów. Podam taki, który mi się wyjątkowo podoba: jeśli którakolwiek z liczb \(\displaystyle{ x_{1}, \ldots x_{n}}\) jest równa zero, to teza jest oczywista, gdyż lewa strona jest równa zero, a prawa jest nie mniejsza niż zero jako suma liczb nieujemnych. Przypuśćmy dalej, że \(\displaystyle{ x_{1}, x_{2}, \ldots x_{n}}\) są dodatnie.
\(\displaystyle{ \textbf{Lemat}}\)
Niech liczby dodatnie \(\displaystyle{ x_{1}, x_{2}, \ldots x_{n} \ (n\ge 2)}\) spełniają warunek \(\displaystyle{ x_{1}x_{2}\ldots x_{n}=1}\). Wówczas zachodzi nierówność \(\displaystyle{ x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{n}\ge n}\).
Dowód lematu: indukcja po \(\displaystyle{ n\ge 2}\).
\(\displaystyle{ 1^{\circ}}\) Dla \(\displaystyle{ n=2}\) mamy wykazać, że gdy w dodatnich jest \(\displaystyle{ x_{1}x_{2}=1}\), to \(\displaystyle{ x_{1}+x_{2}\ge 2}\), nic prostszego:
\(\displaystyle{ x_{1}+x_{2}-2=x_{1}+x_{2}-2\sqrt{x_{1}x_{2}}=\left(\sqrt{x_1}-\sqrt{x_2}\right)^{2}\ge 0}\).
\(\displaystyle{ 2^{\circ}}\) Przypuśćmy, że dla pewnego \(\displaystyle{ n\in \NN, \ n\ge 2}\) i dowolnych liczb dodatnich spełniających warunek \(\displaystyle{ x_{1}x_{2}\ldots x_{n}=1}\) zachodzi nierówność \(\displaystyle{ x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{n}\ge n}\). Ustalmy dowolne \(\displaystyle{ x_{1}>0, \ldots x_{n+1}>0}\) spełniające \(\displaystyle{ x_{1}x_{2}\ldots x_{n+1}=1}\). Wśród liczb \(\displaystyle{ x_{1}, \ldots x_{n+1}}\) istnieje nie większa niż \(\displaystyle{ 1}\) i nie mniejsza niż \(\displaystyle{ 1}\) (wszak \(\displaystyle{ n+1\ge 3}\)), dla ustalenia uwagi niech będą to \(\displaystyle{ x_{n}, x_{n+1}}\). Wówczas otrzymujemy
\(\displaystyle{ x_{1}+\ldots+x_{n-1}+x_{n}+x_{n+1}\ge x_{1}+\ldots+x_{n-1}+x_{n}x_{n+1}+1\ge n+1}\),
przy czym w pierwszym przejściu skorzystaliśmy z nierówności
\(\displaystyle{ x_{n}+x_{n+1}\ge x_{n}x_{n+1}+1}\), którą można zwinąć do w oczywisty sposób prawdziwej \(\displaystyle{ (x_{n}-1)(1-x_{n+1})\ge 0}\), a w drugim z założenia indukcyjnego dla liczb \(\displaystyle{ x_{1}, \ldots x_{n-1}, x_{n}\cdot x_{n+1}}\)
Na mocy zasady indukcji matematycznej dowód lematu został zakończony.

Pozostaje skorzystać z lematu dla liczb
\(\displaystyle{ \frac{x_{1}}{\sqrt[n]{x_{1}x_{2}\ldots x_{n}}}, \ \frac{x_{2}}{\sqrt[n]{x_{1}x_{2}\ldots x_{n}}}, \ldots \frac{x_{n}}{\sqrt[n]{x_{1}x_{2}\ldots x_{n}}}}\), przy czym naturalnie \(\displaystyle{ x_{1}, x_{2}\ldots x_{n}>0}\):
\(\displaystyle{ \frac{x_{1}}{\sqrt[n]{x_{1}x_{2}\ldots x_{n}}}+\frac{x_{2}}{\sqrt[n]{x_{1}x_{2}\ldots x_{n}}}+\ldots+\frac{x_{n}}{\sqrt[n]{x_{1}x_{2}\ldots x_{n}}}\ge n}\)
oczywiście bowiem \(\displaystyle{ \frac{x_{1}}{\sqrt[n]{x_{1}x_{2}\ldots x_{n}}}\cdot \frac{x_{2}}{\sqrt[n]{x_{1}x_{2}\ldots x_{n}}}\cdot \ldots \frac{x_{n}}{\sqrt[n]{x_{1}x_{2}\ldots x_{n}}}=\frac{x_{1}x_{2}\ldots x_{n}}{\left(\sqrt[n]{x_{1}x_{2}\ldots x_{n}}\right)^{n}}=\frac{x_{1}x_{2}\ldots x_{n}}{x_{1}x_{2}\ldots x_{n}}=1}\).
Mnożymy teraz stronami przez \(\displaystyle{ \sqrt[n]{x_{1}x_{2}\ldots x_{n}}}\), co kończy dowód.