1. Udowodnić, że dla każdej liczby naturalnej n jest prawdziwa równość: \(\displaystyle{ 1 \cdot 2 ^{2} +2 \cdot 3 ^{2}+...+n(n+1) ^{2}= \frac{1}{12} n(n+1)(n+2)(3n+5)}\)
2. Udowodnić, że dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n \ge 3}\) jest prawdziwa nierówność: \(\displaystyle{ 3 ^{n} >n \cdot 2 ^{n} }\)
Udowodnij prawdziwość
-
ullortnaci
- Użytkownik
- Posty: 20
- Rejestracja: 13 paź 2019, o 10:39
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 19
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
Re: Udowodnij prawdziwość
1. Indukcja? Są prostsze metody:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}k(k+1)^{2}=\sum_{k=1}^{n}(k-1)k(k+1)+\sum_{k=1}^{n}2k(k+1)=3!\sum_{k=2}^{n}{k+1\choose 3}+2\cdot 2!\sum_{k=1}^{n}{k+1\choose 2}=6{n+2\choose 4}+4{n+2\choose 3}}\)
Korzystam z tego, że
\(\displaystyle{ \sum_{k=i}^{n}{k\choose i}={n+1\choose i+1}}\), dowód to prosta interpretacja kombinatoryczna. Ustawiamy w szeregu \(\displaystyle{ n+1}\) osób i chcemy wybrać spośród nich \(\displaystyle{ i+1}\) osób do drużyny. Numerujemy te osoby od \(\displaystyle{ 1 }\) do \(\displaystyle{ n+1}\). Z jednej strony mamy oczywiście \(\displaystyle{ {n+1\choose i+1}}\) wyborów, z drugiej możemy spojrzeć na numer ostatniej osoby w tym szeregu, którą wybierzemy, skoro mamy wybrać \(\displaystyle{ i+1}\) osób, to będzie on jednym spośród \(\displaystyle{ i+1, i+2, \ldots n+1}\) (to jest nasze \(\displaystyle{ k+1}\)). Spośród poprzedzających \(\displaystyle{ k}\) osób wybieramy dokładnie \(\displaystyle{ i}\) na \(\displaystyle{ {k\choose i}}\) sposobów. I tyle.
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}k(k+1)^{2}=\sum_{k=1}^{n}(k-1)k(k+1)+\sum_{k=1}^{n}2k(k+1)=3!\sum_{k=2}^{n}{k+1\choose 3}+2\cdot 2!\sum_{k=1}^{n}{k+1\choose 2}=6{n+2\choose 4}+4{n+2\choose 3}}\)
Korzystam z tego, że
\(\displaystyle{ \sum_{k=i}^{n}{k\choose i}={n+1\choose i+1}}\), dowód to prosta interpretacja kombinatoryczna. Ustawiamy w szeregu \(\displaystyle{ n+1}\) osób i chcemy wybrać spośród nich \(\displaystyle{ i+1}\) osób do drużyny. Numerujemy te osoby od \(\displaystyle{ 1 }\) do \(\displaystyle{ n+1}\). Z jednej strony mamy oczywiście \(\displaystyle{ {n+1\choose i+1}}\) wyborów, z drugiej możemy spojrzeć na numer ostatniej osoby w tym szeregu, którą wybierzemy, skoro mamy wybrać \(\displaystyle{ i+1}\) osób, to będzie on jednym spośród \(\displaystyle{ i+1, i+2, \ldots n+1}\) (to jest nasze \(\displaystyle{ k+1}\)). Spośród poprzedzających \(\displaystyle{ k}\) osób wybieramy dokładnie \(\displaystyle{ i}\) na \(\displaystyle{ {k\choose i}}\) sposobów. I tyle.