Stosując twierdzenie o indukcji wykazać, że

Ze względu na specyfikę metody - osobny dział.
MichalProg
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 411
Rejestracja: 28 cze 2011, o 21:11
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 62 razy
Pomógł: 1 raz

Stosując twierdzenie o indukcji wykazać, że

Post autor: MichalProg »

\(\displaystyle{ \forall _{n\in\NN} \left( \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot ... \cdot \frac{2n-1}{2n}\right)^2 <\frac{1}{2n+1}}\)

1. 1 spełnia warunek.
2. Załóźmy, że zał. Jest prawdziwe dla wszystkich \(\displaystyle{ n\in\NN}\). Pokażemy ze dla \(\displaystyle{ n+1}\) też.

Po podstawieniu i przeliczeniu mam, że:
\(\displaystyle{ \left( \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot ... \cdot \frac{2n-1}{2n} \cdot \frac{2n+1}{2n+2}\right)^2 <\frac{2n+1}{(2n+2)^2}}\)

I co dalej?
Ostatnio zmieniony 14 paź 2019, o 14:49 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Stosując twierdzenie o indukcji wykazać, że

Post autor: Jan Kraszewski »

MichalProg pisze: 14 paź 2019, o 14:422. Załóźmy, że zał. Jest prawdziwe dla wszystkich \(\displaystyle{ n\in\NN}\). Pokażemy ze dla \(\displaystyle{ n+1}\) też.
I w tym momencie dostajesz zero punktów, bo to klasyczny dowód przez założenie tezy (a raczej klasyczny błąd w formułowaniu dowodu indukcyjnego).

Warto zrozumieć, na czym tak naprawdę polega dowód indukcyjny. A polega na sprawdzeniu założeń Zasady Indukcji Matematycznej, co pozwala na zastosowanie tej Zasady. Drugie założenie ma postać \(\displaystyle{ (\forall n\in\NN)(\varphi(n) \Rightarrow \varphi(n+1)).}\) Sprawdzenie, że to założenie zachodzi (zwane czasem potocznie "krokiem indukcyjnym") polega na ustaleniu dowolnego \(\displaystyle{ n\in\NN}\), TAKIEGO ŻE zachodzi \(\displaystyle{ \varphi(n)}\) i pokazanie, że dla tego ustalonego \(\displaystyle{ n}\) zachodzi \(\displaystyle{ \varphi(n+1)}\).

Nie możesz napisać "Załóźmy, że zał. jest prawdziwe dla wszystkich \(\displaystyle{ n\in\NN}\)" - skoro jest prawdziwe dla wszystkich \(\displaystyle{ n}\), to naprawdę nie ma już co sprawdzać...
MichalProg pisze: 14 paź 2019, o 14:42Po podstawieniu i przeliczeniu mam, że:
\(\displaystyle{ \left( \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot ... \cdot \frac{2n-1}{2n} \cdot \frac{2n+1}{2n+2}\right)^2 <\frac{2n+1}{(2n+2)^2}}\)
Te przekształcenia jednak można by napisać z zaznaczeniem, gdzie korzystasz z założenia indukcyjnego.
MichalProg pisze: 14 paź 2019, o 14:42I co dalej?
No i dalej starasz się pokazać, że

\(\displaystyle{ \frac{2n+1}{(2n+2)^2}\le \frac{1}{2(n+1)+1},}\)

co można zrobić w mniej lub bardziej elegancki sposób.

JK
MichalProg
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 411
Rejestracja: 28 cze 2011, o 21:11
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 62 razy
Pomógł: 1 raz

Re: Stosując twierdzenie o indukcji wykazać, że

Post autor: MichalProg »

Ok. Dzięki. Chodziło mi o pokazanie przejścia, ale już je znalazłem.

Teraz mam inny przykład.
Jak pokazać, że
\(\displaystyle{ \frac{9n}{4}\cdot\left( \frac{2n+3}{2n+2}\right)^2 \le \frac{9}{4}(n+1)}\)
Ostatnio zmieniony 14 paź 2019, o 15:41 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Skaluj nawiasy.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Stosując twierdzenie o indukcji wykazać, że

Post autor: Jan Kraszewski »

Np. "brute force", przekształcając równoważnie.

JK
MichalProg
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 411
Rejestracja: 28 cze 2011, o 21:11
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 62 razy
Pomógł: 1 raz

Re: Stosując twierdzenie o indukcji wykazać, że

Post autor: MichalProg »

Ok. Już sobie poradziłem. Teraz ostatni przykład:
Wykazać, że
\(\displaystyle{ \forall _{n \ge 3} \ n^{n+1} >(n+1)^n}\)

Chodzi mi o samo przekształcenie po zastosowaniu założenia.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Stosując twierdzenie o indukcji wykazać, że

Post autor: Jan Kraszewski »

A to musi być indukcja? Twoja teza jest równoważna

\(\displaystyle{ n>\left( 1+\frac1 n\right)^n, }\)

a skądinąd wiemy, że ciąg \(\displaystyle{ \left( 1+\frac1 n\right)^n}\) jest rosnąćy i dąży do \(\displaystyle{ e}\).

JK
MichalProg
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 411
Rejestracja: 28 cze 2011, o 21:11
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 62 razy
Pomógł: 1 raz

Re: Stosując twierdzenie o indukcji wykazać, że

Post autor: MichalProg »

Wznawiam dyskusję.

Okazuje się, że nie można skorzystać z liczby e. Jak Więc, przekształcając indukcyjnie dowieść tezy?
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Stosując twierdzenie o indukcji wykazać, że

Post autor: Premislav »

Przypuśćmy, że dla pewnego \(\displaystyle{ n\in \NN, \ n\ge 3}\) zachodzi nierówność
\(\displaystyle{ n^{n+1}>(n+1)^{n}}\).
Mamy
\(\displaystyle{ (n+1)^{n+2}=(n+1)\cdot (n+1)^{n+1}=(n+1)\cdot \left(1+\frac{1}{n} \right)^{n+1}\cdot n^{n+1}\\>(n+1)\cdot \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}(n+1)^{n}=(n+1)^{n+1}\cdot \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}\\>(n+1)^{n+1}\cdot \left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}=(n+2)^{n+1}}\)
gdzie w pierwszej nierówności skorzystałem z założenia indukcyjnego, a w drugiej z tego, że \(\displaystyle{ 1+\frac{1}{n}>1+\frac{1}{n+1}}\), a co za tym idzie \(\displaystyle{ \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}>\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}}\) dla \(\displaystyle{ n\in \NN}\).
ODPOWIEDZ