Proszę wykazać przez indukcję ze względu na \(\displaystyle{ n}\), że dla każdego \(\displaystyle{ n \in \NN}\) i każdego \(\displaystyle{ x \neq 1}\):
\(\displaystyle{ 1+x+x ^{2}+...x ^{n}= \frac{x ^{n+1}-1 }{x-1} }\)
Dla \(\displaystyle{ n=1}\) oczywiście spełnione.
Teraz przyjmuję \(\displaystyle{ n=k}\) i zakładam:
\(\displaystyle{ 1+x+x ^{2}+...x ^{k}= \frac{x ^{k+1}-1 }{x-1} }\)
Dla \(\displaystyle{ n=k+1}\) ma zachodzić:
\(\displaystyle{ 1+x+x ^{2}+...x ^{k}+x^{k+1}= \frac{x ^{k+2}-1 }{x-1} }\)
Wykorzystując założenie:
\(\displaystyle{ \frac{x ^{k+1}-1 }{x-1}+x ^{k+1}=\frac{x ^{k+2}-1 }{x-1} }\)
Stąd po włączeniu \(\displaystyle{ x ^{k+1}}\) do licznika otrzymuję L=P.
Czy jest to poprawny sposób rozwiązania zadania indukcyjnego?
Zadanie z indukcji
-
- Użytkownik
- Posty: 155
- Rejestracja: 5 paź 2019, o 09:46
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 20 razy
- Pomógł: 3 razy
Zadanie z indukcji
Ostatnio zmieniony 6 paź 2019, o 18:46 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Administrator
- Posty: 34286
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Zadanie z indukcji
Rachunki ok, ale opis jest niezbyt poprawny.
No i wypadałoby powołać się na zasadę indukcji matematycznej...
JK
Mnie taki opis zawsze zgrzyta, ale wiem, że niektórzy tak są uczeni dowodów indukcyjnych (choć mam nieodparte wrażenie, że niekoniecznie wiedzą, na tym ten dowód polega).
No i tak nie możesz napisać bez wyraźnego zaznaczenia, że przekształcasz tezę indukcyjną równoważnie (bo tak jak jest to wygląda na wnioskowanie z tezy, czego - jak wiadomo - nie wolno robić). Dużo lepiej zacząć od lewej strony, po drodze wykorzystać założenie indukcyjne i dojść do prawej strony.
No i wypadałoby powołać się na zasadę indukcji matematycznej...
JK