Liczby Harmoniczne, dowód indukcyjny

[Darek254]

Dzień dobry,
poniżej zamieszczam treść zadania i to co zrobiłem do tej pory.

Niech \(\displaystyle{ H_{n}}\) będzie n-tą liczbą harmoniczną dla \(\displaystyle{ n \ge 1}\). Wykaż, że dla dowolnego \(\displaystyle{ n \ge 0 }\) zachodzą nierówności:

\(\displaystyle{ \frac{n+1}{2} \le H_{ 2^{n} } \le n+1}\)

Robiłem sobie takie zadanie i utknąłem. Na początku rozbiłem to na dwie nierówności oraz udowodnilem, że obie z nich są prawdziwe dla n = 0, żeby pasowało mi to do indukcji, potem zacząłem dowodzić obie nierówności osobno, ale utknąłem na samym początku, gdzie jest \(\displaystyle{ \frac{n+2}{2} \le H_{ 2^{n+1} } \wedge H_{ 2^{n+1} } \le n+2}\), nie wiem jak przekształcić tę liczbę harmoniczną, na coś sensownego, żeby końcowo to dowieść.

Z góry dziękuję za pomoc.

[a4karo]

Wsk: pokaż, że
$$\frac12\leq \sum_{i=2^n+1}^{2^{n+1}}\leq 1$$

[Darek254]

Skąd się wziął taki zapis? Mógłby ktoś to wyjaśnić?

Z góry dziękuję

[janusz47]

Indukcja względem \(\displaystyle{ n }\)

\(\displaystyle{ \leftarrow }\)

\(\displaystyle{ H_{2^{0}} = H_{1} = 1 \geq \frac{1}{2} + \frac{0}{2}= \frac{1}{2} }\)


\(\displaystyle{ \left( H _{2^{n}}\geq \frac{n+1}{2} = \frac{1}{2} + \frac{n}{2} \right) \rightarrow \left(H _{2^{n+1}}\geq \frac{1}{2} + \frac{n+1}{2} = \frac{n+2}{2}\right) }\)

\(\displaystyle{ H_{2^{n+1}} = 1 + \frac{1}{2} +\frac{1}{3} +...+ \frac{1}{2^{n}} + \frac{1}{2^{n} +1} +...+ \frac{1}{2^{n+1}} = H_{2^{n}} + \frac{1}{2^{n}+1}+...+ \frac{1}{2^{n+1}} \geq \left( \frac{1}{2} + \frac{n}{2}\right) + \frac{1}{2^{n}+1} +...+ \frac{1}{2^{n+1}} \geq \\ \geq \left( \frac{1}{2}+\frac{n}{2}\right) + 2^{n}\cdot \frac{1}{2^{n+1}} = \left( \frac{1}{2}+ \frac{n}{2}\right) +\frac{1}{2} = \frac{1}{2} + \frac{n+1}{2} = \frac{n+2}{2} }\)

c.b.d.o.

\(\displaystyle{ \rightarrow }\)
podobnie