Problem z zadaniem:"Wykaż, że ciąg dla każdej liczby naturalnej jest podzielny przez 11."

[Piwok1]

Wykaż, że \(\displaystyle{ a_{n}=2^{6n+1}+3^{2n+2}}\) dla każdej liczby \(\displaystyle{ n}\) należącej do zbioru liczb naturalnych jest podzielny przez \(\displaystyle{ 11}\).

Ćwiczymy teraz indukcję matematyczną i utykam w jednym punkcie.
Powinienem użyć różnicy \(\displaystyle{ a_{k+1}-a_{k}}\)? Bo ta metoda doprowadza mnie do wyrażenia \(\displaystyle{ 2^{6k+1}\cdot (2^{6}-1)+3^{2k+2}(3^{4}-3^{2})=0}\) i dalej nie wiem co robić, a usuwanie potęg na tym etapie nie doprowadza mnie do niczego.

[Jan Kraszewski]

Ćwiczymy teraz indukcję matematyczną i utykam w jednym punkcie.
Powinienem użyć różnicy \(\displaystyle{ a_{k+1}-a_{k}}\)?

A co Ci da badanie różnicy tych wyrazów?

Pokaż po prostu, jak robisz dowód indukcyjny.

JK

PS
Ciąg nie może być podzielny przez \(\displaystyle{ 11}\). Co najwyżej każdy jego wyraz.

[Premislav]

Wskazówka do kroku indukcyjnego: zauważmy, że
$$a_{n+1}=9a_n+55\cdot 2^{6n+1}$$

[Piwok1]

Fakt. Niestety, nie mam co pokazać, bo ni w ząb tego nie rozumiem.
Jedyne co w tym zadaniu zrobiłem to założenia, gdy \(\displaystyle{ n=1}\), \(\displaystyle{ n=k}\) i \(\displaystyle{ n=k+1}\). Nie mam zielonego pojęcia co mam zrobić.

[Jan Kraszewski]

Jedyne co w tym zadaniu zrobiłem to założenia, gdy \(\displaystyle{ n=1}\), \(\displaystyle{ n=k}\) i \(\displaystyle{ n=k+1}\). Nie mam zielonego pojęcia co mam zrobić.

To nie są założenia, tylko próba opisu przypadków, jakie masz rozważyć.

Najpierw masz zbadać tzw. krok bazowy, czyli sprawdzić, czy teza jest prawdziwa dla \(n=1\).

Potem masz wykonać tzw. krok indukcyjny. W tym celu ustalasz takie \(n\), dla którego teza zachodzi i starasz się wywnioskować, że wówczas zachodzi ona także dla \(n+1\). Niektórzy w kroku indukcyjnym wolą używać \(k\) zamiast \(n\), ale to oczywiście bez znaczenia.

JK