Udowodnij: dla każdego \(\displaystyle{ n}\) zachodzi \(\displaystyle{ 5|F_{5n}}\).
1. Dla \(\displaystyle{ n=0}\) prawda
2. Dla każdego \(\displaystyle{ n\ge 0}\) zdanie prawdziwe
\(\displaystyle{ F_{5n}=5 \alpha \ F_{5(n+1)}=F_{5n+5} \\ F_{5n+5}=F_{5n+1}+F_{5n+1}+F_{5n+1}+F_{5n+1}+F_{5n+1}+F_{5n}+F_{5n}+F_{5n}+F_{5n}+F_{5n}=5 \cdot F_{5n+1}+5 \cdot F_{5n}=5 \cdot (F_{5n+1}+ \alpha )}\)
Zastanawiam się czy to jest poprawnie udowodnione?
Ciąg Fibonacciego
-
- Użytkownik
- Posty: 9
- Rejestracja: 6 paź 2018, o 17:51
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska warszawa
- Podziękował: 3 razy
Ciąg Fibonacciego
Ostatnio zmieniony 18 mar 2019, o 20:51 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych.
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Ciąg Fibonacciego
To co w tej linijce napisałeś nie ma żadnego sensu.\(\displaystyle{ F_{5n}=5 \alpha \ F_{5(n+1)}=F_{5n+5}}\)
Potem też nie rozumiem, co się stało, jak już chce się tak to robić, to raczej
\(\displaystyle{ F_{5n+5}=F_{5n+4}+F_{5n+3}}\) etc.
Ja bym przy tej okazji pokusił się o zaproponowanie dowodu takiego faktu:
jeśli \(\displaystyle{ k,n\in \NN^+}\), to
\(\displaystyle{ F_{m+1}F_k+F_mF_{k-1}=F_{m+k}}\)
Dowód można przeprowadzić przez indukcję po \(\displaystyle{ k}\) przy ustalonym \(\displaystyle{ m\in \NN^+}\).
Stąd otrzymasz w szczególności
\(\displaystyle{ F_{5n+1}F_5+F_{5n}F_4=F_{5n+5}}\)
Wystarczy przyjąć \(\displaystyle{ m=5n, \ k=5}\).
-
- Administrator
- Posty: 34281
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Ciąg Fibonacciego
To akurat ma sens, tylko został popełniony podstawowy błąd przy redakcji tekstu matematycznego: nie pisze się dwóch niezależnych wzorów obok siebie.Premislav pisze:To co w tej linijce napisałeś nie ma żadnego sensu.\(\displaystyle{ F_{5n}=5 \alpha \ F_{5(n+1)}=F_{5n+5}}\)
Bardziej bez sensu jest następna linijka.
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 9
- Rejestracja: 6 paź 2018, o 17:51
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska warszawa
- Podziękował: 3 razy
Ciąg Fibonacciego
Więc mamy zapis
\(\displaystyle{ F_{5n+1}F_5+F_{5n}F_4=F_{5n+5}}\)
Ale jak z tego udowodnić podzielność przez 5?
Średnio to rozumiem
\(\displaystyle{ F_{5n+1}F_5+F_{5n}F_4=F_{5n+5}}\)
Ale jak z tego udowodnić podzielność przez 5?
Średnio to rozumiem
-
- Administrator
- Posty: 34281
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Ciąg Fibonacciego
Nie mamy. Dopiero będziemy mieli, jak udowodnimy.Killerek pisze:Więc mamy zapis
\(\displaystyle{ F_{5n+1}F_5+F_{5n}F_4=F_{5n+5}}\)
Skoro \(\displaystyle{ 5\mid F_5}\) (co łatwo stwierdzić) oraz \(\displaystyle{ 5\mid F_{5n}}\) (założenie indukcyjne), to...Killerek pisze:Ale jak z tego udowodnić podzielność przez 5?
Ale możesz to też robić na piechotę, po kolei redukując \(\displaystyle{ F_{n+5}}\) do sumy, w której występują \(\displaystyle{ F_{n+1}}\) i \(\displaystyle{ F_n}\).
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 9
- Rejestracja: 6 paź 2018, o 17:51
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska warszawa
- Podziękował: 3 razy
Ciąg Fibonacciego
Dzięki za pomoc. Ale jesteś pewien że redukować mam zapis \(\displaystyle{ F_{n+5}}\)
a nie \(\displaystyle{ F_{5n+5}}\)?
a nie \(\displaystyle{ F_{5n+5}}\)?
-
- Administrator
- Posty: 34281
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Ciąg Fibonacciego
Tak, tak, pomyłka.Killerek pisze:Dzięki za pomoc. Ale jesteś pewien że redukować mam zapis \(\displaystyle{ F_{n+5}}\)
a nie \(\displaystyle{ F_{5n+5}}\)?
Możesz zredukować \(\displaystyle{ F_{5n+5}}\) do sumy, w której występują \(\displaystyle{ F_{5n+1}}\) i \(\displaystyle{ F_{5n}}\).
JK