Ciąg Fibonacciego

[Killerek]

Udowodnij: dla każdego \(\displaystyle{ n}\) zachodzi \(\displaystyle{ 5|F_{5n}}\).
1. Dla \(\displaystyle{ n=0}\) prawda
2. Dla każdego \(\displaystyle{ n\ge 0}\) zdanie prawdziwe
\(\displaystyle{ F_{5n}=5 \alpha \ F_{5(n+1)}=F_{5n+5} \\ F_{5n+5}=F_{5n+1}+F_{5n+1}+F_{5n+1}+F_{5n+1}+F_{5n+1}+F_{5n}+F_{5n}+F_{5n}+F_{5n}+F_{5n}=5 \cdot F_{5n+1}+5 \cdot F_{5n}=5 \cdot (F_{5n+1}+ \alpha )}\)
Zastanawiam się czy to jest poprawnie udowodnione?

[Premislav]

\(\displaystyle{ F_{5n}=5 \alpha \ F_{5(n+1)}=F_{5n+5}}\)

To co w tej linijce napisałeś nie ma żadnego sensu.
Potem też nie rozumiem, co się stało, jak już chce się tak to robić, to raczej
\(\displaystyle{ F_{5n+5}=F_{5n+4}+F_{5n+3}}\) etc.

Ja bym przy tej okazji pokusił się o zaproponowanie dowodu takiego faktu:
jeśli \(\displaystyle{ k,n\in \NN^+}\), to
\(\displaystyle{ F_{m+1}F_k+F_mF_{k-1}=F_{m+k}}\)
Dowód można przeprowadzić przez indukcję po \(\displaystyle{ k}\) przy ustalonym \(\displaystyle{ m\in \NN^+}\).
Stąd otrzymasz w szczególności
\(\displaystyle{ F_{5n+1}F_5+F_{5n}F_4=F_{5n+5}}\)
Wystarczy przyjąć \(\displaystyle{ m=5n, \ k=5}\).

[Jan Kraszewski]

\(\displaystyle{ F_{5n}=5 \alpha \ F_{5(n+1)}=F_{5n+5}}\)

To co w tej linijce napisałeś nie ma żadnego sensu.

To akurat ma sens, tylko został popełniony podstawowy błąd przy redakcji tekstu matematycznego: nie pisze się dwóch niezależnych wzorów obok siebie.

Bardziej bez sensu jest następna linijka.

JK

[Killerek]

Więc mamy zapis
\(\displaystyle{ F_{5n+1}F_5+F_{5n}F_4=F_{5n+5}}\)
Ale jak z tego udowodnić podzielność przez 5?
Średnio to rozumiem

[Jan Kraszewski]

Więc mamy zapis
\(\displaystyle{ F_{5n+1}F_5+F_{5n}F_4=F_{5n+5}}\)

Nie mamy. Dopiero będziemy mieli, jak udowodnimy.

Ale jak z tego udowodnić podzielność przez 5?

Skoro \(\displaystyle{ 5\mid F_5}\) (co łatwo stwierdzić) oraz \(\displaystyle{ 5\mid F_{5n}}\) (założenie indukcyjne), to...

Ale możesz to też robić na piechotę, po kolei redukując \(\displaystyle{ F_{n+5}}\) do sumy, w której występują \(\displaystyle{ F_{n+1}}\) i \(\displaystyle{ F_n}\).

JK

[Killerek]

Dzięki za pomoc. Ale jesteś pewien że redukować mam zapis \(\displaystyle{ F_{n+5}}\)
a nie \(\displaystyle{ F_{5n+5}}\)?

[Jan Kraszewski]

Dzięki za pomoc. Ale jesteś pewien że redukować mam zapis \(\displaystyle{ F_{n+5}}\)
a nie \(\displaystyle{ F_{5n+5}}\)?

Tak, tak, pomyłka.

Możesz zredukować \(\displaystyle{ F_{5n+5}}\) do sumy, w której występują \(\displaystyle{ F_{5n+1}}\) i \(\displaystyle{ F_{5n}}\).

JK