1. Korzystając z zasady indukcji matematycznej pokaż że dla \(\displaystyle{ n \ge 0}\) zachodzi:
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{ \infty } p ^{k} {n+k \choose k} = \frac{1}{1-p ^{n+1} } , 0 < p < 1}\)
Jestem w stanie zrobić pierwszy krok dla n=0, ale nie mam pojęcia, jak doprowadzić do założenia indukcyjnego w drugim.
2. Korzystając z zasady indukcji matematycznej udowodnij twierdzenie:
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{p} {p \choose k} {n-p \choose m-k} = {n \choose m}}\), gdzie m i n są ustalonymi liczbami naturalnymi takimi, że \(\displaystyle{ 0 \le m \le n}\) oraz \(\displaystyle{ 0 \le p \le n-m}\).
Zakładam że p jest tu zmienną do rozpatrzenia i podobnie, jestem w stanie wykazać pierwszy krok dla p=0, ale mam problem z krokiem drugim.
Dzięki z góry za pomoc.
