Indukcja dla liczb m, n, k

[hidden55]

Używając indukcji pokazać:

a) \(\displaystyle{ m. n. k \in N:}\) jeśli \(\displaystyle{ m+k \le n+k}\) to \(\displaystyle{ m \le n}\)
b) \(\displaystyle{ m. n. k \in N:}\) jeśli \(\displaystyle{ mk \le nk}\) to \(\displaystyle{ m \le n}\)

W pierwszym przypadku mogę pokazać, że dla \(\displaystyle{ k=0}\)
\(\displaystyle{ m+0 \le n+0}\), więc, \(\displaystyle{ m \le n}\).
To samo w drugim przypadku:
\(\displaystyle{ m \cdot 0 \le n \cdot 0}\), więc \(\displaystyle{ m \le n}\), bo \(\displaystyle{ 0=0}\)

Ale co zrobić dalej?

[a4karo]

To ostatnie rozumowanie chyba nie jest prawidłowe.

[hidden55]

W takim razie póki co zajmując się tylko przykładem a) - co zrobić dalej?
I co błędnego jest w tym rozumowaniu? Który moment?

[matmatmm]

Zakładam, że \(\displaystyle{ 0\in\NN}\). Potrzebne będą następujące własności dodawania:
1) łączność
2) przemienność
3) \(\displaystyle{ 0}\) jest elementem neutralnym

, a także

4) \(\displaystyle{ n+1=m+1 \implies n=m}\)

Własność 4 nie wynika z poprzednich. Wydaje mi się, że aby ją uzasadnić, trzeba odwołać się do aksjomatów Peana.

Z użyciem powyższym własności spróbuj udowodnić lemat: \(\displaystyle{ n+k=m+k \implies n=m}\).
Dowód jest indukcyjny ze względu na \(\displaystyle{ k}\).

Mając lemat możesz przejść do dowodu punktu a. Jedną ze standardowych definicji \(\displaystyle{ \le}\) na liczbach naturalnych jest:

\(\displaystyle{ m\le n :\iff \exists_k n=m+k}\)

Odwołując się do tej definicji, własności dodawania i lematu można bezpośrednio (bez indukcji) udowodnić punkt a.

[a4karo]

\(\displaystyle{ 10\cdot0\leq5\cdot0}\)