Korzystając z indukcji matematycznej, udowodnij prawdziwość wzorów:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} k^{2}=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)}\) nεN
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} k*k!=(n+1)!-1}\) nεN
prosze o rozwiązanie.... mam jeszcze z tym problemy;/
korzystając z indukcji udowodnij
-
Piotr Rutkowski
- Użytkownik
- Posty: 2234
- Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 22 razy
- Pomógł: 390 razy
korzystając z indukcji udowodnij
2)
Sprawdzasz
Założenie:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} k*k!=(n+1)!-1}\)
Dowód:
\(\displaystyle{ 1*1!+2*2!+...+n*n!+(n+1)(n+1)!=(n+1)!-1+(n+1)(n+1)!=(n+2)(n+1)!-1=(n+2)!-1}\)
1)
Sprawdzasz
Założenie:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} k^{2}=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)}\)
Dowód:
\(\displaystyle{ 1+2^{2}+...+n^{2}+(n+1)^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+(n+1)^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)+6(n+1)^{2}}{6}=\frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}}\)
Sprawdzasz
Założenie:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} k*k!=(n+1)!-1}\)
Dowód:
\(\displaystyle{ 1*1!+2*2!+...+n*n!+(n+1)(n+1)!=(n+1)!-1+(n+1)(n+1)!=(n+2)(n+1)!-1=(n+2)!-1}\)
1)
Sprawdzasz
Założenie:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} k^{2}=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)}\)
Dowód:
\(\displaystyle{ 1+2^{2}+...+n^{2}+(n+1)^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+(n+1)^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)+6(n+1)^{2}}{6}=\frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}}\)
-
wb
- Użytkownik
- Posty: 3507
- Rejestracja: 20 sie 2006, o 12:58
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Brodnica
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1260 razy
korzystając z indukcji udowodnij
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} k^{2}=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)}\) nεN
Dowód indukcyjny;
1°
sprawdzenie dla n=1:
\(\displaystyle{ L=1^2=1}\)
\(\displaystyle{ P=\frac{1}{6}\cdot 1 (1+1)(2\cdot 1+1)=1}\)
L=P
2°
Założenie indukcyjne:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} k^{2}=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)}\)
Teza indukcyjna:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n+1} k^{2}=\frac{1}{6}(n+1)(n+2)(2(n+1)+1)}\)
Dowód tezy indukcyjnej:
\(\displaystyle{ L= \sum_{k=1}^{n+1} k^{2}=\sum_{k=1}^{n} k^{2}+(n+1)^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)+(n+1)^2= \\ =\frac{1}{6}(n+1)(n(2n+1)+6(n+1))=\frac{1}{6}(n+1)(2n^2+7n+6)= \\ =\frac{1}{6}(n+1)(n+2)(2n+3)=P}\)
Dowód indukcyjny;
1°
sprawdzenie dla n=1:
\(\displaystyle{ L=1^2=1}\)
\(\displaystyle{ P=\frac{1}{6}\cdot 1 (1+1)(2\cdot 1+1)=1}\)
L=P
2°
Założenie indukcyjne:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} k^{2}=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)}\)
Teza indukcyjna:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n+1} k^{2}=\frac{1}{6}(n+1)(n+2)(2(n+1)+1)}\)
Dowód tezy indukcyjnej:
\(\displaystyle{ L= \sum_{k=1}^{n+1} k^{2}=\sum_{k=1}^{n} k^{2}+(n+1)^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)+(n+1)^2= \\ =\frac{1}{6}(n+1)(n(2n+1)+6(n+1))=\frac{1}{6}(n+1)(2n^2+7n+6)= \\ =\frac{1}{6}(n+1)(n+2)(2n+3)=P}\)