Indukcja matematyczna suma symbolu newtona

[adasumizox]

Witam. Mam problem z zadaniem z indukcji matematycznej. Gdy próbuję rozwiązać zadanie na dole wychodzi mi silnia z -1.
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} = 2^{n}}\)
1 \(\displaystyle{ n_{0} = 0, L = \sum_{k=0}^{0} {n \choose k} = 1}\)
Założenie: \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} = 2^{n}}\)
Teza: \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n+1} {n+1 \choose k} = 2^{n+1}}\)
Dowód: \(\displaystyle{ L = \sum_{k=0}^{n+1} {n+1 \choose k} = \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} + {n \choose n+1} = 1 + \frac{n!}{(n+1)!(n-(n+1))!} = 1 + \frac{1}{n \cdot (-1)!}}\)
Z góry dziękuję za całą pomoc

[Janusz Tracz]

Już mniejsza z obliczeniami ale to jest ściana znaczków wypisywanych bez większego zastanowienia. Skoro udowadniasz, że dla każdego naturalnego \(\displaystyle{ n}\) zachodzi \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} = 2^{n}}\) a potem piszesz:

Założenie: \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} = 2^{n}}\)

to w tym momencie zadanie jest skończone. Dowód zdania "Dla każdego \(\displaystyle{ n}\) naturalnego zachodzi \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} = 2^{n}}\) " powinien się zacząć od sprawdzenia czy jest tak dla \(\displaystyle{ n=0}\) a następnie ustaleniu dowolnego \(\displaystyle{ n}\) naturalnego dla którego teza zachodzi. To jak więźcie młotka do ręki przed wbiciem gwoździa. A zatem mając taki \(\displaystyle{ n}\) można pokazać że zachodzi również \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n+1} {n+1 \choose k} = 2^{n+1}}\) poprzez

\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n+1} {n+1 \choose k} ={n+1 \choose 0}+\sum_{k=1}^{n} {n+1 \choose k}+{n+1 \choose n+1}=}\)

\(\displaystyle{ ={n+1 \choose 0}+\sum_{k=1}^{n} \left[ {n \choose k}+{n \choose k-1}\right] +{n+1 \choose n+1}=}\)

\(\displaystyle{ =1+\left[ \left( 2^n-1\right)+\left( 2^n-1\right)\right]+1=2 \cdot 2^n=2^{n+1}}\)

Co na mocy twierdzenia o indukcji kończy dowód.