Indukcja na dwóch zmiennych, podzielność

[Alf]

To mój pierwszy post na forum, witam więc wszystkich forumowiczów. Mam pytanie co do zadania z ostatniej matury, polegało na wykazaniu, że \(\displaystyle{ k^3 m - km^3}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ 6}\) dla całkowitych \(\displaystyle{ k}\) i \(\displaystyle{ m}\). Wydaje mi się, że mogę bez straty ogólności założyć, że \(\displaystyle{ k}\) oraz \(\displaystyle{ m}\) są naturalne. Ale nie jestem pewien, czy mogę indukcyjnie udowodnić tezę najpierw dla każdego \(\displaystyle{ k}\), a potem dla każdego \(\displaystyle{ m}\) i stwierdzić prawdziwość tezy dla każdego \(\displaystyle{ k}\) i \(\displaystyle{ m}\)? Wydaje mi się to logiczne, ale wolę się upewnić.

[szw1710]

Mamy \(\displaystyle{ k^3m-km^3=k^3m-km+km-km^3=m(k^3-k)-k(m^3-m)}\)

Ponieważ dla każdego \(\displaystyle{ n}\) całkowitego mamy \(\displaystyle{ n^3-n=(n-1)n(n+1)}\), jest to iloczyn trzech kolejnych liczb całkowitych, więc zawiera liczbę podzielną przez \(\displaystyle{ 2}\) i liczbę podzielną przez \(\displaystyle{ 3}\). Tym samym różnica \(\displaystyle{ n^3-n}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 6}\). Stosując to do pierwszej linii mojego posta mamy koniec dowodu.

Po więcej zapraszam na zapis transmisji live na moim kanale blogowym YT. Tam jest rozwiązany cały ten zestaw.

Kod: Zaznacz cały

https://www.youtube.com/watch?v=3TPg9bhgSOU

Zadanie 8 jest ok. 45:40.

[Rafsaf]

Moje rozwiązanie na maturze było duuużo brzydsze i dużo dłuższe, ale też dawało radę xd

Co do pomysłu autora:
Nie widzę tego "bez straty ogólności". Nie widzę też specjalnie tego dowodu najpierw dla \(\displaystyle{ k}\) potem dla \(\displaystyle{ m}\).

Napisz ten dowód i potem pytaj czy jest dobrze(łatwo ocenić poprawność gdy jest napisany).

[Alf]

Wiem, jak to zadanie rozwiązać bez indukcji, pytałem o możliwość "rozbicia" dowodu na dwa osobne dowody (jeden po k, drugi po m)...

Jeśli \(\displaystyle{ k}\) jest ujemne, to podstawiąjąc \(\displaystyle{ l =-k}\) dostajemy \(\displaystyle{ k^3 m - k m^3 = -(l^3 m - l m^3)}\), czyli dowód przebiega tak samo, jak dla \(\displaystyle{ k}\) dodatniego. Analogicznie jest dla \(\displaystyle{ m}\) - podzielność wyrażenia \(\displaystyle{ k^3 m - k m^3}\) nie zależy od znaku zmiennych. Zakładamy więc bez straty ogólności, że \(\displaystyle{ k,m >0}\). Przeprowadźmy dowód najpierw dla \(\displaystyle{ k}\):

Dla \(\displaystyle{ k=1}\) teza jest prawdziwa, bo \(\displaystyle{ m - m^3 = -m(m-1)(m+1)}\), a więc nasze wyrażenie jest iloczynem trzech kolejnych liczb naturalnych, musi więc dzielić się przez \(\displaystyle{ 2}\) i przez \(\displaystyle{ 3}\), a więc i przez \(\displaystyle{ 6}\). Załóżmy teraz, że dla pewnego \(\displaystyle{ k}\) teza jest prawdziwa. Zauważmy, że

\(\displaystyle{ (k+1)^3 m - (k+1) m^3 = k^3 m + 3k^2m + 3km + m - km^3 - m^3 =\\= (k^3 m - km^3) +3mk(k+1) -m(m-1)(m+1)}\).

Każdy ze składników sumy jest podzielny przez \(\displaystyle{ 6}\), bo jest podzielny przez \(\displaystyle{ 2}\) i przez \(\displaystyle{ 3}\). Stąd, na mocy indukcji wnioskujemy o prawdziwości tezy dla każdego \(\displaystyle{ k}\) naturalnego.

Indukcja po \(\displaystyle{ m}\) przebiega dokładnie tak samo. Czy jest to poprawny dowód?

[Jan Kraszewski]

Pomijając pewne niezręczności w dowodzie, pomysł jest dobry. Kilka uwag:

1. Zgubiłeś przypadek, w którym jedna z liczb jest zerem. Powinieneś bez straty ogólności założyć, że \(\displaystyle{ k,m\ge 0}\) i zacząć indukcję od zera.
2. Stwierdzenie "\(\displaystyle{ m - m^3 = -m(m-1)(m+1)}\), a więc nasze wyrażenie jest iloczynem trzech kolejnych liczb naturalnych" jest formalnie nieprawdziwe, bo \(\displaystyle{ -m(m-1)(m+1)}\) nie jest iloczynem trzech kolejnych liczb naturalnych. Idea jest słuszna, ale na szczegóły trzeba uważać.
3. W kroku indukcyjnym można by dokładniej uzasadnić, dlaczego "Każdy ze składników sumy jest podzielny przez \(\displaystyle{ 6}\)".
4. Uwaga "Indukcja po \(\displaystyle{ m}\) przebiega dokładnie tak samo." jest zupełnie zbędna, bo żadnej indukcji "po \(\displaystyle{ m}\)" już nie robimy. Po co?

JK

[Alf]

Dziękuję za odpowiedź i korektę postów. Chyba już rozumiem.