Udowodnij, że
dla każdego \(\displaystyle{ n \in \NN, n \ge 2 : \left( n! \right) ^2 < \left( \frac{ \left( n+1 \right) \left( 2n+3 \right) }{6} \right) ^n}\)
? Nic mi nie wychodzi, chociaż jakaś podopowiedź?
Dowód indukcyjny z silnią
- Tupensep
- Użytkownik
- Posty: 26
- Rejestracja: 10 lis 2018, o 20:14
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Tarnobrzeg
- Podziękował: 8 razy
Dowód indukcyjny z silnią
Ostatnio zmieniony 17 lis 2018, o 20:23 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4065
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1392 razy
Dowód indukcyjny z silnią
A musi być indukcją? Pewnie się da ale łatwiej jest skorzystać z nierówności między średnią arytmetyczną a geometryczną. Bo mamy
\(\displaystyle{ \sqrt[n]{1^2 \cdot 2^2 \cdot 3^2 \cdot ... \cdot n^2} \le \frac{1^2+2^2+3^2+...+n^2}{n}= \frac{(n+1)(2n+1)}{6}<\frac{(n+1)(2n+3)}{6}}\)
A to po podniesieniu do \(\displaystyle{ n}\) tej potęgi kończy zadanie
\(\displaystyle{ (n!)^2<\left( \frac{(n+1)(2n+3)}{6}\right)^n}\)
\(\displaystyle{ \sqrt[n]{1^2 \cdot 2^2 \cdot 3^2 \cdot ... \cdot n^2} \le \frac{1^2+2^2+3^2+...+n^2}{n}= \frac{(n+1)(2n+1)}{6}<\frac{(n+1)(2n+3)}{6}}\)
A to po podniesieniu do \(\displaystyle{ n}\) tej potęgi kończy zadanie
\(\displaystyle{ (n!)^2<\left( \frac{(n+1)(2n+3)}{6}\right)^n}\)
- Tupensep
- Użytkownik
- Posty: 26
- Rejestracja: 10 lis 2018, o 20:14
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Tarnobrzeg
- Podziękował: 8 razy
Dowód indukcyjny z silnią
nie rozumiem skąd ta równość? widzę, że działa i pewnie to głupie pytanie, ale skąd się wzięła?Janusz Tracz pisze: \(\displaystyle{ \frac{1^2+2^2+3^2+...+n^2}{n}= \frac{(n+1)(2n+1)}{6}}\)
Tak wgl dziękuję bardzo
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4065
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1392 razy
Dowód indukcyjny z silnią
To akurat łatwo udowodnić indukcyjnie co polecam jako zadanie. Ale są też inne nieindukcyjne dowody. Przykładowo metodą zaburzeń zobacz to. Na forum znajdziesz też jeszcze inne dowody wiem że stosunkowo niedawno po raz kolejny pojawił się temat tej sumy i sam nawet udzielałem jednej odpowiedzi a teraz nie mogę tego znaleźć... Jak poszukasz pod hasłem "suma kwadratów kolejnych liczb naturalnych" to na pewno coś znajdziesz. Mimo wszystko równość polecam udowodnić indukcyjnie jest zdecydowanie najprościej.-- 17 lis 2018, o 16:56 --
Nie to nie jest złe pytanie to jest dobre pytanie. Znalazłem to czego szukałem. Pod tym linkiem znajdziesz obszerną odpowiedź czemu zachodzi taka równość KLIKnie rozumiem skąd ta równość? widzę, że działa i pewnie to głupie pytanie, ale skąd się wzięła?\(\displaystyle{ \frac{1^2+2^2+3^2+...+n^2}{n}= \frac{(n+1)(2n+1)}{6}}\)
- Rafsaf
- Użytkownik
- Posty: 466
- Rejestracja: 19 lut 2017, o 11:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Podkarpacie/Wrocław
- Podziękował: 54 razy
- Pomógł: 80 razy
Dowód indukcyjny z silnią
Indukcyjnie można to rzeczywiście łatwo udowodnić(tą na postać zwartą sumy kwadratów, nie tą z zadania). Dorzucę też link do tematu:
258562.htm
Ps. Fajna lokalizacja i fajny nick, w końcu się zarejestrowałaś xD
258562.htm
Ps. Fajna lokalizacja i fajny nick, w końcu się zarejestrowałaś xD