Udowodnić indukcyjnie tożsamość sumowania

[raczkujaca189]

\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} ( x_{i} + y _{i} ) = \sum_{i=1}^{n} x _{i} + \sum_{i=1}^{n} y _{i}}\)

[Janusz Tracz]

\(\displaystyle{ \bullet}\) Sprawdzamy czy teza jest prawdziwa dla \(\displaystyle{ n=1}\). Jest to prawda bo

\(\displaystyle{ x_1+y_1=x_1+y_1}\)

\(\displaystyle{ \bullet}\) Pokazujemy prawdziwość implikacji \(\displaystyle{ T(n) \Rightarrow T(n+1)}\) zauważając że:

\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n+1} ( x_{i} + y _{i} )=\sum_{i=1}^{n} ( x_{i} + y _{i} )+\left( x_{n+1}+y_{n+1}\right)=\sum_{i=1}^{n} x _{i} + \sum_{i=1}^{n} y _{i}+ x_{n+1}+y_{n+1}=\sum_{i=1}^{n+1} x _{i} + \sum_{i=1}^{n+1} y _{i}}\)

co na mocy twierdzenia o indukcji kończy dowód.

[raczkujaca189]

Myślałam, że to nie może być takie proste. A jednak. Dziękuję bardzo ! : )