Indukcja matematyczna z czynnikiem

[Percepton]

Wykaż, że dla \(\displaystyle{ n \ge 9}\) zachodzi poniższa nierówność

\(\displaystyle{ \frac{4^n}{2 \sqrt{n} } + 10^3 \le {2n \choose n}}\)

[Zahion]

W czym problem ?
\(\displaystyle{ {2n + 2 \choose n + 1} = {2n \choose n} \cdot \frac{4n+2}{n+1}}\) i korzystamy z założenia.

[Percepton]

W czym problem ?
\(\displaystyle{ {2n + 2 \choose n + 1} = {2n \choose n} \cdot \frac{4n+2}{n+1}}\) i korzystamy z założenia.

<gafa> napisałem bzdurę dlatego edytuję-- 1 lis 2018, o 17:01 --

[Zahion]

Odpowiadając na kolejne pytanie - jak to dalej poprowadzić :
Do udowodnienia mamy tak naprawdę, że \(\displaystyle{ \frac{4^{n+1}}{2 \sqrt{n+1} } \le \frac{4^n\left( 4n+2\right) }{2 \sqrt{n}\left( n+1\right) }}\), co Nam równoważnie daje :
\(\displaystyle{ \frac{4 \sqrt{n} }{ \sqrt{n+1} } \le \frac{4n+2}{n+1} \Rightarrow \frac{ \sqrt{n} }{ \sqrt{n+1} } \le \frac{2n+1}{2n+2} \Rightarrow \sqrt{1- \frac{1}{n} } \le 1 - \frac{1}{2n+2}}\)
Tutaj natomiast wystarczy podnieść do kwadratu i doprowadzić do postaci w której z lewej strony mamy ujemny czynnik, z prawej dodatni.

[Percepton]

Rozwiązałem już to trochę inaczej ale i tak dziękuję