Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej zachodzi równość

Ze względu na specyfikę metody - osobny dział.
derweise
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 18 lip 2018, o 19:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Świdnica
Podziękował: 1 raz

Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej zachodzi równość

Post autor: derweise » 18 lip 2018, o 20:27

Witam,

hobbystycznie zajmuje się matematyką i zapoznałem się dziś z indukcją matematyczną. Po zrobieniu kilku najbardziej podstawowych zadań utknąłem na jednym z nich i prosiłbym o naprowadzenie na właściwe tory. Oto zadanie:

Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej prawdziwa jest równość:

\(\displaystyle{ 1+11+111+111...11= \frac{1}{81} ( 10 ^{n+1} -9n-10)}\)

1.
\(\displaystyle{ n=1\\ L=1\\ P=\frac{1}{81} (10 ^{1+1} -9-10)=1}\)

więc \(\displaystyle{ L=P}\)


2. \(\displaystyle{ k\ge n}\)
\(\displaystyle{ 1+11+111+111...11= \frac{1}{81} (10 ^{k+1} -9k-10)}\)

3. \(\displaystyle{ n=k+1}\)

\(\displaystyle{ 1+11+111+111...11+k+1= \frac{1}{81} (10 ^{k+1+1} -9(k+1)-10) \\ L= \frac{1}{81} (10 ^{k+1} -9k-10)+k+1 \\ P= \frac{1}{81}(10 ^{k+2} -9(k+1)-10}\)

I tu mi już coś nie pasuje i nie daje mi spokoju:)
Ostatnio zmieniony 18 lip 2018, o 20:42 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości.

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 25561
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4264 razy

Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej zachodzi równość

Post autor: Jan Kraszewski » 18 lip 2018, o 20:46

derweise pisze:2. \(\displaystyle{ k\ge n}\)
A co to za dziwne założenie?
derweise pisze:3. \(\displaystyle{ n=k+1}\)

\(\displaystyle{ 1+11+111+111...11+\red k+1\black = \frac{1}{81} (10 ^{k+1+1} -9(k+1)-10)}\)
A skąd Ty wytrzasnąłeś to \(\displaystyle{ k+1}\) ? Przecież tam ma być liczba składająca się z \(\displaystyle{ k+1}\) jedynek.

JK

derweise
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 18 lip 2018, o 19:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Świdnica
Podziękował: 1 raz

Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej zachodzi równość

Post autor: derweise » 18 lip 2018, o 21:06

Jan Kraszewski pisze:
A co to za dziwne założenie?
Założyłem,że skoro równanie jest prawdziwe dla dowolnej liczby jedynek n to musi być prawdziwe dla dowolnej liczby jedynek k. Teraz widzę, że nie tędy droga.

Poprawne założenie to \(\displaystyle{ n=k \ge 1}\)
Jan Kraszewski pisze:A skąd Ty wytrzasnąłeś to ? Przecież tam ma być liczba składająca się z jedynek.
Zamiast ruszyć szare komórki poleciałem schematem z zadania,które rozwiązywałem chwilę wcześniej.

Próbuje ponownie i dam znać co wyszło. Dzięki

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 25561
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4264 razy

Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej zachodzi równość

Post autor: Jan Kraszewski » 18 lip 2018, o 21:34

derweise pisze:Poprawne założenie to \(\displaystyle{ n=k \ge 1}\)
To też wygląda dość schematycznie, ale na pewno lepiej niż poprzednio. Pamiętaj, że warto rozumieć, na czym naprawdę polega indukcja matematyczna. Pisałem o tym kilka razy, np. tutaj: 336988.htm#p5105859

JK

derweise
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 18 lip 2018, o 19:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Świdnica
Podziękował: 1 raz

Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej zachodzi równość

Post autor: derweise » 18 lip 2018, o 21:54

Czy tę liczbę składającą się \(\displaystyle{ k+1}\) jedynek mogę zapisać jako \(\displaystyle{ 1+10 ^{1}+10 ^{2}+10 ^{n}}\) ? Czy dalej w złą stronę podążam?
Ostatnio zmieniony 18 lip 2018, o 22:15 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

Krodinor
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 203
Rejestracja: 13 sty 2016, o 00:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 12 razy

Re: Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej zachodzi równ

Post autor: Krodinor » 18 lip 2018, o 22:01

Liczbę składającą się z \(\displaystyle{ k+1}\) jedynek najlepiej zapisać w ten sposób: \(\displaystyle{ \frac{1}{9} \left( 10^{k+1}-1 \right)}\)

ODPOWIEDZ