wykazac nirównosc

[robin5hood]

Wykaż, że dla każdego \(\displaystyle{ n \in C_+}\) {1} zachodzi nierówność \(\displaystyle{ \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2} + ... + \frac{1}{2n} > \frac{13}{24}}\)

[luka52]

Spr. dla \(\displaystyle{ n_0 = 2}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{7}{12} = \frac{14}{24} > \frac{13}{24}}\)

Zał.
\(\displaystyle{ T(k): \ \frac{1}{k+1} + \ldots + \frac{1}{2k} > \frac{13}{24}}\)

Teza
\(\displaystyle{ T(k+1): \ \frac{1}{k+2} + \ldots + \frac{1}{2k} + \frac{1}{2k+1} + \frac{1}{2k+2} > \frac{13}{24}}\)

Dowód:
\(\displaystyle{ L_T = \frac{1}{k+2} + \ldots + \frac{1}{2k} + \frac{1}{2k+1} + \frac{1}{2k+2} = \frac{1}{k+1} + \frac{1}{k+2} + \ldots + \frac{1}{2k} + \frac{1}{2k+1} + \frac{1}{2k+2} - \frac{1}{k+1} > \frac{13}{24} + \frac{1}{2k+1} + \frac{1}{2k+2} - \frac{1}{k+1} > \frac{13}{24}}\)
Należy jeszcze wykazać, że:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2k+1} + \frac{1}{2k+2} - \frac{1}{k+1} > 0\\
\frac{1}{2k+1} - \frac{1}{2k+2} > 0\\
\frac{1}{2k+1} > \frac{1}{2k+2}\\
2k + 1 < 2k + 2\\
1 < 2}\)
Zatem na mocy tw. indukcji matematycznej dana nierówność jest prawdziwa dla każdej liczby naturalnej > 1.