Matematyka.pl

A to jeszcze wrzucę jedno zadanie co by nie tworzyć nowego wątku
Również indukcja:

mamy:
\(\displaystyle{ n!< \left( \frac{n+1}{2} \right) ^{n}}\)

1 dla \(\displaystyle{ n \ge 2}\) jest spełnione (nie chce mi się rozpisywać)

2.
Zał : \(\displaystyle{ n!< \left( \frac{n+1}{2} \right) ^{n}}\)
Teza : \(\displaystyle{ n!< \left( \frac{n+1}{2} \right) ^{n} \Rightarrow \left( n+1 \right) !< \left( \frac{n+2}{2} \right) ^{n+1}}\)

zauważmy że :
\(\displaystyle{ n!< \left( n+1 \right) n! = \left( n+1 \right) !}\)
\(\displaystyle{ \left( \frac{n+1}{2} \right) ^{n} < \left( \frac{n+1}{2} \right) ^{n+1} < \left( \frac{n+2}{2} \right) ^{n+1}}\)

z Zał mamy że \(\displaystyle{ n!< \left( \frac{n+1}{2} \right) ^{n}}\)
z przechodności nierówności
\(\displaystyle{ \left( n+1 \right) !< \left( \frac{n+2}{2} \right) ^{n+1}}\)

Jest to poparwne rozwiązanie?

Wnioskujesz tak:
skoro \(\displaystyle{ 5<10}\) i \(\displaystyle{ 6<8}\) to \(\displaystyle{ 10<8}\)

no nie koniecznie bo zakładamy że założenie jest prawdziwe i jedynie n zmieniamy
to nie implikuje że dalsze rozumowanie jest poprawne ?

No to uzasadnij zdanie: z przechodniości nierówności wynika...

Dobra rzeczywiście można by było użyć innego sformułowania
Można to sformować że: z tego wynika nierówność 2. będzie to poprawy zapis?

Ale z czego wynika ta nierówność? To dalej sa tylko słowa.

Masz ciąg nierównośći
\(\displaystyle{ n!< \left( n+1 \right) n! = \left( n+1 \right) !}\)
\(\displaystyle{ \left( \frac{n+1}{2} \right) ^{n} < \left( \frac{n+1}{2} \right) ^{n+1} < \left( \frac{n+2}{2} \right) ^{n+1}}\)

z Zał mamy że \(\displaystyle{ n!< \left( \frac{n+1}{2} \right) ^{n}}\)

Stąd jestes w stanie wywnioskować, że
\(\displaystyle{ n!< \left( \frac{n+1}{2} \right) ^{n} < \left( \frac{n+1}{2} \right) ^{n+1} < \left( \frac{n+2}{2} \right) ^{n+1}}\)

Ale nie wiadomo jak stąd wynika, że \(\displaystyle{ \left( n+1 \right) !<\left(\frac{n+2}{2}\right) ^{n+1}}\)


Inna sprawa, że robienie tej nierówności indukcją nie jest najlepszym pomysłem

Zgadzam się z tobą co do rozumowania w 100% uznje swój błąd
Jednak mój profesor wrzucił ta nierówność by dowód przeprowadzić przez indukcje. Także stosuje się do zaleceń
Jakaś wskazówka jak "podbpiąc (n+1)! by się zgadzało?


Czy można zrobić to w ten sposób
\(\displaystyle{ n!< \left( \frac{n+1}{2} \right) ^{n} < \left( \frac{n+1}{2} \right) ^{n+1} < \left( \frac{n+2}{2} \right) ^{n}}\)

stąd:
\(\displaystyle{ n!< \left( \frac{n+2}{2} \right) ^{n} / \cdot \left( \frac{n+2}{2} \right) \cdot \left( n+1 \right)}\)

\(\displaystyle{ \left( \frac{n+2}{2} \right) \left( n+1 \right) !< \left( \frac{n+2}{2} \right) ^{n+1} \left( n+1 \right)}\)


i wystarczyłoby pokazać że \(\displaystyle{ \left( \frac{n+2}{2} \right) < \left( n+1 )}\) , dla \(\displaystyle{ n \ge 2}\)

Zacznij od \(\displaystyle{ (n+1)!=(n+1)\cdot n! <}\)
Tu wydaje się być właściwe miejsce do zastosowania założenia indukcyjnego...
I dalej trzeba szacowac

Nie mam czasu nad zastanawianiem się dłużej nad tym zadaniem

Aha, to my mamy mieć czas na Twoje studia, a nie Ty? Kiepsko to wygląda.

Ze wzoru na sumę początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego mamy \(\displaystyle{ 1+2+\ldots+n= \frac{n(n+1)}{2}}\), zatem na mocy nierówności między średnią arytmetyczną a geometryczną:
\(\displaystyle{ \frac{n+1}{2} = \frac{1+2+\ldots+n}{n} \ge \sqrt[n]{1\cdot 2\cdot \ldots\cdot n} =\sqrt[n]{n!}}\), podnosimy stronami do potęgi \(\displaystyle{ n}\) i do widzenia, nie wiem po co tu indukcja.
Chociaż… nierówność między średnią arytmetyczną a geometryczną można udowodnić właśnie przez indukcję. Najpierw lemat dla dodatnich \(\displaystyle{ x_1, x_2, \ldots x_n}\):
jeśli \(\displaystyle{ x_1\cdot x_2\cdot \ldots \cdot x_n=1}\), to \(\displaystyle{ x_1+x_2+\ldots+x_n\ge n}\)
(indukcyjny dowód tego lematu wiele razy był pisany na forum, np. tutaj), następnie ustalmy dowolne rzeczywiste dodatnie liczby \(\displaystyle{ a_1, a_2, \ldots a_n}\) i połóżmy w tym lemacie
\(\displaystyle{ x_1= \frac{a_1}{\sqrt[n]{a_1a_2\ldots a_n}}, \ x_2=\frac{a_2}{\sqrt[n]{a_1a_2\ldots a_n}}, \ \ldots x_n=\frac{a_n}{\sqrt[n]{a_1a_2\ldots a_n}}}\).

"Aha, to my mamy mieć czas na Twoje studia, a nie Ty? Kiepsko to wygląda."

Nie, nie mam czasu nad szukaniem pomocy u kogoś kto chce rozwiązywać zadanie według własnego uznania, lecz tak jak powinno to być , które sugeruje treść.
A na naukę mam czas i przeznaczam go na nią w sporej ilości więc nie ocenia się lubi po źle zinterpretowanych wiadomościach.
Zawsze lubię wracać do tych trudnych na sam koniec dnia by już po przerobionym materiale spokojnie do nich przysiąść.

Nie, nie mam czasu nad szukaniem pomocy u kogoś kto chce rozwiązywać zadanie według własnego uznania, lecz tak jak powinno to być , które sugeruje treść.

No offence, ale może od czasu do czasu poczytaj jakąś książkę, bo ta składnia woła o pomstę do nieba. Nie chodzi o to, żeby koniecznie być jakimś cholernym polonistą, ale pisząc w ten sposób, ryzykujesz, że nie zostaniesz zrozumiany (już mniejsza z tym, że nie zostawiasz o sobie najlepszego świadectwa).

Poza tym wyżej napisałeś jednak coś innego:

Nie mam czasu nad zastanawianiem się dłużej nad tym zadaniem

,
już po tym, jak zasugerowano Ci jak przeprowadzić dowód indukcyjny, więc ewidentnie coś kręcisz (BTW w moim sposobie też jest indukcja, przy dowodzie nierówności między średnią arytmetyczną a geometryczną). Zinterpretowałem to najlepiej, jak było można po takiej wypowiedzi.

Drugi krok indukcyjny sprowadza się do tego, by z tego, że dla pewnego \(\displaystyle{ n \in \NN}\) zachodzi \(\displaystyle{ n!<\left( \frac{n+1}{2}\right)^n}\), wywnioskować, że \(\displaystyle{ (n+1)!<\left( \frac{n+2}{2}\right)^{n+1}}\)
i można to zrobić tak:
\(\displaystyle{ (n+1)!=(n+1)\cdot n!<(n+1)\cdot \left( \frac{n+1}{2}\right)^n= \frac{(n+1)^{n+1}}{2^n}}\)
- skorzystałem po prostu z założenia indukcyjnego. Zatem, ponieważ nierówności są przechodnie, wystarczyłoby wykazać, iż dla dowolnego \(\displaystyle{ n \in \NN^+, \ n\ge 2}\) mamy
\(\displaystyle{ \frac{(n+1)^{n+1}}{2^n}\le \left( \frac{n+2}{2}\right)^{n+1}}\),
a po prostych przekształceniach algebraicznych (mnożenie/dzielenie stronami) równoważnie otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \left( 1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}\ge 2}\)
Jest to bezpośrednią konsekwencją dla \(\displaystyle{ x=\frac{1}{n+1}, \ a=n+1}\)
(jak ktoś nie zna tej nierówności, to może zamiast tego rozwinąć ze wzoru dwumianowego Newtona
\(\displaystyle{ \left( 1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}}\) i zauważyć, że wszystkie składniki rozwinięcia są dodatnie, więc zmniejszymy sumę otrzymaną poprzez to rozwinięcie, ucinając ją po drugim wyrazie).