Sprawdzenie indukcji z logarytmami

[VirtualUser]

Witam, uczę się indukcji i chciałbym by ktoś zerknął na moje rozwiązanie i wytknął mi wszystkie błędy (łącznie z tym, czy moje komentarze są w pełni poprawne itp bo trochę mi się to miesza):

Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ k}\), większej od \(\displaystyle{ 2}\) zachodzi równość
\(\displaystyle{ \log_{3}(2) \cdot \log_{4}(3) \cdot \log_{5}(4) \cdot ... \cdot \log_{k+1}(k) = \log_{k+1}(2)}\)

Dowód indukcyjny:
krok pierwszy:
Sprawdźmy prawdziwość tezy dla pierwszej możliwej wartości \(\displaystyle{ k \rightarrow k=3}\):
\(\displaystyle{ \log_{3}(2)\cdot \log_{4}(3) = \frac{1}{2} = \log_{4}(2)}\)
krok drugi:
Udowodnijmy, że \(\displaystyle{ f(n) = f(n+1)}\) dla każdego \(\displaystyle{ n = k}\)
\(\displaystyle{ P = \log_{3}(2) \cdot \log_{4}(3)\cdot ... \cdot \log_{3}(2)\log_{n+1}(n)\cdot \log_{n+2}(n+1) =

\log_{n+1}(2)\cdot \log_{n+2}(n+1) = \frac{\log_{n+2}(2)}{ \log_{n+2}(n+1)} \cdot \log_{n+2}(n+1) = \log_{n+2}(2)}\)
Zatem teza jest prawdziwa dla każdego \(\displaystyle{ k}\), które spełnia założenia zadania (\(\displaystyle{ k>2}\)).
Co kończy dowód indukcyjny.

[Jan Kraszewski]

Co to jest:

Udowodnijmy, że \(\displaystyle{ f(n) = f(n+1)}\) dla każdego \(\displaystyle{ n = k}\)

?

JK

[VirtualUser]

Hipoteza Indukcyjna

[Jan Kraszewski]

Po pierwsze, co to jest \(\displaystyle{ f}\)? Po drugie, czymkolwiek byłoby \(\displaystyle{ f}\), hipoteza jest niepoprawnie sformułowana. Po trzecie, czy to poprawna hipoteza?

JK

[VirtualUser]

\(\displaystyle{ f(k) = \log_{3}(2) \cdot \log_{4}(3) \cdot \log_{5}(4) \cdot ... \cdot \log_{k+1}(k)}\)

co do poprawności to... nie wiem :/ Próbuję to ogarnąć, niby coś mi świta ale jednak trudno mi połapać się w tym etapach, w programie liceum tego już nie ma :/

[Jan Kraszewski]

No to z całą pewnością hipoteza nie jest poprawna.

Po pierwsze, podejrzewam, że chciałeś napisać

\(\displaystyle{ \varphi(k)=\left( \log_{3}(2) \cdot \log_{4}(3) \cdot \log_{5}(4) \cdot ... \cdot \log_{k+1}(k) = \log_{k+1}(2)\right).}\)

Po drugie, założenie indukcyjne nie może być postaci "dla każdego \(\displaystyle{ n}\) zachodzi \(\displaystyle{ \varphi(n)}\)", bo to jest teza całego twierdzenia, a zakładanie tezy - jak wiadomo - nie jest dobrym pomysłem.

Powinno to brzmieć w ten sposób:

Ustalmy dowolne \(\displaystyle{ n\in\NN, n\ge 3}\) takie, że zachodzi \(\displaystyle{ \varphi(n)}\). Pokażemy, że zachodzi \(\displaystyle{ \varphi(n+1)}\), czyli

\(\displaystyle{ \log_{3}(2) \cdot \log_{4}(3) \cdot \log_{5}(4) \cdot ... \cdot \log_{n+1}(n)\cdot \log_{n+2}(n+1) = \log_{n+2}(2)}\).

Mamy

\(\displaystyle{ \log_{3}(2) \cdot \log_{4}(3) \cdot \log_{5}(4) \cdot ... \cdot \log_{n+1}(n)\cdot \log_{n+2}(n+1) \stackrel{\tiny{\mbox{zał. ind.}}}{=}\\= \log_{n+1}(2)\cdot \log_{n+2}(n+1)=...}\).

JK