Udowodnij nierówność

[kaco189]

Udowodnij, że
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}- \frac{1}{3}+ \frac{1}{4}- \frac{1}{5}+ \frac{1}{6}- \frac{1}{7}+...+ \frac{1}{2006}- \frac{1}{2007}+ \frac{1}{2008}- \frac{1}{2009}< \frac{3}{8}}\)
Proszę o pomoc

[timon92]

spróbuj dodać kilka początkowych ułamków

[kaco189]

Ogólnie to jedyne co widzę to:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+...+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}<\frac{3}{8}}\)
No i \(\displaystyle{ n \in N \wedge n \in \left\langle 2,2008\right\rangle}\)
Nie wiem czy to się przyda, bo jestem kompletnie nowy i zielony w temacie indukcji.

[Premislav]

A ja to tak widzę:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}-\frac 1 3+\frac 1 4-\frac 1 5+\frac 1 6-\frac 1 7+\frac 1 8= \frac{420-280+210-168+140-120+105}{840}= \frac{307}{840} < \frac{3}{8}}\),
a pozostała część sumy jest niedodatnia...

Głupie rozwiązanie. Może da się tu zrobić coś ładniejszego?

[kaco189]

Dziwne strasznie rozwiązanie, jak ktoś ma pomysł na inne to proszę o napisanie. A wam dziękuje

[kalwi]

Głupie rozwiązanie. Może da się tu zrobić coś ładniejszego?

A może by tak:

\(\displaystyle{ S_1=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\dots+\frac{1}{2008} \\
S_2=\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\dots+\frac{1}{2009} \\
2S_1=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\dots+\frac{1}{1004} \\
2S_1-1=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\dots+\frac{1}{1004} \\ \\
S_1+S_2=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\dots+\frac{1}{2009} \\
S_1+S_2=2S_1-1+\frac{1}{1005}+\dots+\frac{1}{2009} \\
2S_1-S_1-S_2=S_1-S_2=1-\left( \frac{1}{1005}+\dots+\frac{1}{2009}\right)}}\)

I teraz z tym pokombinować?

[bosa_Nike]

[Marcinek665]

Niby tak, ale skąd pewność, że jak urwiesz tę sumę po \(\displaystyle{ -\frac{1}{2009}}\) to ta nierówność zajdzie?

[bosa_Nike]

\(\displaystyle{ L<L+\left(\frac{1}{2010}-\frac{1}{2011}\right)+\left(\frac{1}{2012}-\frac{1}{2013}\right)+...=1-\ln 2<\frac{3}{8}\iff \\ \\ e^5<3^5<2^8\iff 3\cdot(8+1)^2<3\cdot 8^2+6\cdot 8+2\cdot 8}\)

[arek1357]

a nie lepiej tak:

nasz szereg tylko do nieskończoności:

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{2n(2n+1)}= \frac{1}{2 \cdot 3}+ \frac{1}{4 \cdot 5}+ \frac{1}{6 \cdot 7}+....=}\)

\(\displaystyle{ = \frac{1}{2}- \frac{1}{3}+ \frac{1}{4}- \frac{1}{5}+ \frac{1}{6}- \frac{1}{7}+.....}\)

szereg anharmoniczny:

\(\displaystyle{ \ln 2= \sum_{n=1}^{ \infty }(-1)^{n+1} \frac{1}{n}}\)

czyli:

\(\displaystyle{ 1-\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{2n(2n+1)}= \ln 2}\)

lub:

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{2n(2n+1)}=1- \ln 2 < \frac{3}{8}}\)

I to ze sporym zapasem


no to samo ubiegłaś mnie