Indukcja matematyczna, podwójna

[marcinNykiel]

jak pokazać, indukcyjnie że \(\displaystyle{ f \left( \frac{1}{2^n} \right) =g \left( \frac{1}{2^n} \right) =\frac{n}{2^n}}\).
Funkcja \(\displaystyle{ f \left( x \right) :=\max \left( -x\log _2 x,- \left( 1-x \right) \log _2 \left( 1-x \right) \right)}\)
druga funkcja jest określona jako \(\displaystyle{ g \left( x \right) =\frac{g \left( 2x \right) }{2}+x}\), gdy \(\displaystyle{ x\in \left[ 0,\frac{1}{2} \right]}\) oraz \(\displaystyle{ g \left( x \right) =\frac{g \left( 2x-1 \right) }{2}+ \left( 1-x \right)}\), gdy \(\displaystyle{ x\in \left[ \frac{1}{2},1 \right]}\)
obie funkcje są określone na przedziale \(\displaystyle{ [0,1]}\) o wartościach rzeczywistych.

Bardzo proszę o pomoc.

[Mistrz]

Widzę w tym zadaniu dwa małe błędy: po pierwsze wzór funkcji \(\displaystyle{ f}\) nie określa jej w zerze ani w jedynce, wbrew temu co jest napisane dalej (ale domyślamy się, że chodzi o funkcję \(\displaystyle{ f}\), która ma \(\displaystyle{ f(0)=0=f(1)}\)), a po drugie sformułowanie "druga funkcja jest określona jako \(\displaystyle{ g(x)=...}\)" jest trochę niejasne. Ja bym raczej napisał "druga funkcja spełnia równania ...".

Rozwiążemy to zadanie dzieląc je na parę podpunktów.
1. Zadanie jest prawdziwe dla funkcji \(\displaystyle{ g}\)
2. \(\displaystyle{ f}\) spełnia te same dwa równania co \(\displaystyle{ g}\)
2a. \(\displaystyle{ h}\) określona jako \(\displaystyle{ h(x) = -x \log_2x}\) spełnia równania na \(\displaystyle{ g}\)
2b. \(\displaystyle{ h(x) \ge h(1-x)}\) dla \(\displaystyle{ x\in [0;1/2]}\)

Spróbuj najpierw dowieść tych rzeczy sam