Witam, czy mógłby mi ktoś pomóc jak rozwiązywać zadania ze stosowaniem indukcji matematycznej?? Mam do rozwiązania 2 przykłady ale nie wiem jak się za to zabrać, proszę o pomoc.
1. \(\displaystyle{ \ln n<n, n\in\mathbb{N}}\)
2. \(\displaystyle{ 1+3+...+(2n-1)=n^{2}, n\in\mathbb{N}}\)
dowód nierówności i sumy
dowód nierówności i sumy
Ostatnio zmieniony 1 lut 2014, o 13:17 przez lukasz1804, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Między tagami[latex], [/latex]
Powód: Między tagami
-
Mistrz
- Użytkownik
- Posty: 637
- Rejestracja: 10 sie 2009, o 09:56
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz / Warszawa
- Podziękował: 19 razy
- Pomógł: 135 razy
Indukcja matematyczna
1. \(\displaystyle{ \ln(1)=0<1}\)
2. Weźmy dowolną \(\displaystyle{ n>1}\) i załóżmy, że dla \(\displaystyle{ k<n}\) mamy \(\displaystyle{ \ln(k)<k}\). Wobec tego \(\displaystyle{ n= n-1 +1> \ln(n-1) + 1 > \ln(n-1) + \ln\left(\frac{n}{n-1}\right) = \ln(n)}\). W tej nierówności skorzystaliśmy między innymi z \(\displaystyle{ k>\ln(k)}\) dla \(\displaystyle{ k=n-1}\).
1. to baza indukcji, a 2. to krok indukcyjny. Jasne?
2. Weźmy dowolną \(\displaystyle{ n>1}\) i załóżmy, że dla \(\displaystyle{ k<n}\) mamy \(\displaystyle{ \ln(k)<k}\). Wobec tego \(\displaystyle{ n= n-1 +1> \ln(n-1) + 1 > \ln(n-1) + \ln\left(\frac{n}{n-1}\right) = \ln(n)}\). W tej nierówności skorzystaliśmy między innymi z \(\displaystyle{ k>\ln(k)}\) dla \(\displaystyle{ k=n-1}\).
1. to baza indukcji, a 2. to krok indukcyjny. Jasne?
dowód nierówności i sumy
Dziękuję zaczynam rozumieć, 2 przykład znalazłem jak rozwiązywać więc dziękuję za pomoc.