Wielokrotność dziesiątki

[fryxjer]

\(\displaystyle{ 2341^{100}-2341^{20}}\) jest wielokrotnością \(\displaystyle{ 10}\)
i dochodzę do momentu
\(\displaystyle{ \left( n^{5}-n \right)^{20}}\)
i dalej nie wiem jak to robić? Nie wiem czy dobrze to zapisałem

[yorgin]

Ostatnia cyfra obu składników to jedynka, zatem ich różnica ma jako ostatnią cyfrę zero.

[fryxjer]

A jak udowodnić z zasady indukcji to co napisałem wcześniej tj. :
\(\displaystyle{ 10 | \left( n^{5}-n \right)^{20}}\)
bo o to głównie mi chodzi
PS. przepraszam za złe sformułowanie tematu

[yorgin]

Ale Twoja liczba nie jest równa

\(\displaystyle{ (n^5-n)^{20}}\)

Jeśli chcesz to zrobić z indukcji, pokaż że dla dowolnej liczby naturalnej prawdziwe jest

\(\displaystyle{ 10|(n^5-n)}\)

Wtedy dla \(\displaystyle{ n=2041^{20}}\) dostajesz żądana podzielność.

[fryxjer]

robie tak:
\(\displaystyle{ n^{5}-n=10k}\)

\(\displaystyle{ ( n+1)^{5} - ( n+1 ) = 10l}\)

\(\displaystyle{ k,l \in \mathbb N}\)

i przeprowadzam dowód z tego drugiego i wychodzi mi:
\(\displaystyle{ 5 ( 2k+n^{4}+2n^{3}+2n^{2}+n)}\)
i to jest dowód, że liczba jest podzielna przez 10? Czy coś źle robię?

[yorgin]

Nie do końca.

Należy jeszcze uzasadnić, że liczba w nawiasie jest parzysta.

A dokładniej, ze liczba

\(\displaystyle{ n^{4}+2n^{3}+2n^{2}+n}\)

jest parzysta.

Zauważ, że

\(\displaystyle{ n^4+n=n(n^3+1)=n(n+1)(n^2-n+1)}\)

i ta ostatnia liczba jest na pewno parzysta.