Indukcja matematyczna z symbolem Newtona

Ze względu na specyfikę metody - osobny dział.
offtyper
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 31
Rejestracja: 19 lis 2010, o 22:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 9 razy

Indukcja matematyczna z symbolem Newtona

Post autor: offtyper » 8 lis 2011, o 18:07

Witam. Mam problem z nast. zadaniem:

Wykaż indukcyjnie, że:
\(\displaystyle{ \bigwedge\limits_{n\in N_{+} \setminus \left\{ 1\right\} } {n \choose 1} - 2{n \choose 2} + 3{n \choose 3} - ... + (-1)^{n-1} \cdot n \cdot {n \choose n} = 0}\)

Nie wiem jak przekształcić tezę dla n+1, aby skorzystać z założenia i to dało 0. Proszę o pomoc.
Pozdrawiam.

P.S Acha, zapomniałem napisać, że nie znam jeszcze symbolu sumy.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

adambak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1272
Rejestracja: 8 sty 2011, o 18:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 295 razy
Pomógł: 115 razy

Indukcja matematyczna z symbolem Newtona

Post autor: adambak » 8 lis 2011, o 18:22

a nie chciałbyś się nauczyć symbolu sumy? chwilka a potem jak cieszy i skraca zapisy.. tutaj tego będzie sporo, a z sumą parę linijek.. a i jeśliby Cię to ciekawiło to interpretacja tej równości jest taka, że w zbiorze \(\displaystyle{ n}\)-elementowym tyle samo jest podzbiorów z parzystą liczbą elementów co tych z nieparzystą liczbą elementów..

skrillex
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 28 lis 2011, o 00:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk

Indukcja matematyczna z symbolem Newtona

Post autor: skrillex » 28 lis 2011, o 20:07

\(\displaystyle{ {n \choose 1} = n}\)

\(\displaystyle{ {n \choose n} = 1}\)

Założenie :\(\displaystyle{ {n \choose 1} + \sum_{i=2}^{n}(-1)^{i-1} * i * {n \choose i }}\)

Teza :\(\displaystyle{ {k+1 \choose 1} + \sum_{i=2}^{k+1}(-1)^{i-1} * i * {k+1 \choose i }}\)

Dowód : \(\displaystyle{ {k+1 \choose 1} + \sum_{i=2}^{k+1}(-1)^{i-1} * i * {k+1 \choose i } = {k+1 \choose 1 } + 0 + (-1)^{k+1-1} * (k+1) * {k+1 \choose k+1 } = {k+1 \choose 1} + (-1)^{k}*(k+1)*1 = (k+1) + (-1)^{k}*(k+1) = (k+1)(1 + (-1)^k) = (k+1)(1 + (-1)^k) = 0 \Leftrightarrow k=2a+1}\)

Wychodzi tylko dla nieparzystych. Sposób jest dobry? Gdzie zrobiłem błąd?

Pozdrawiam

ODPOWIEDZ