Indukcja z wartością bezwzględną

[offtyper]

Witam. Mam problem z nast. zadaniami:

1.
Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n oraz dowolnych liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ x_{1},x_{2},x_{3}, ... , x_{n}}\) prawdziwa jest nierówność:
\(\displaystyle{ |x_{1} + x_{2} + x_{3} + ... + x_{n}| \le |x_{1}| + |x_{2}| + |x_{3}| + ... + |x_{n}|}\)

2.
Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n oraz liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ x_{1},x_{2},x_{3}, ... , x_{n}}\) takich, że \(\displaystyle{ x_{i} \ge 0}\) dla \(\displaystyle{ i \in \left\{ 1,2,3, ..., n\right\}}\) prawdziwa jest nierówność:
\(\displaystyle{ (1+x_{1})(1+x_{2})(1+x_{3}) \cdot ... \cdot (1+x_{n}) \ge 1 +x_{1} + x_{2} + x_{3} + ... + x_{n}}\)

Proszę o pomoc.
Pozdrawiam

[adambak]

1) ogólnie to masz wykazać coś takiego: \(\displaystyle{ \left| \sum_{i=1}^{n}x_i \right| \le \sum_{i=1}^{n}\left| x_i\right|}\).. sprawdź, że dla \(\displaystyle{ n=1}\) działa.. następnie założeniem indukcyjnym jest, że działa dla jakiegoś \(\displaystyle{ n}\), jeśli uda się pokazać, że to implikuje prawdziwość też dla samego \(\displaystyle{ n+1}\) to jesteśmy w domu.. no to sprawdźmy czy:

\(\displaystyle{ \left| \sum_{i=1}^{n+1}x_i \right| \le \sum_{i=1}^{n+1}\left| x_i\right|}\)

korzystając z tego, że \(\displaystyle{ \left| a+b\right| \le \left| a\right|+\left| b\right|}\)

\(\displaystyle{ \left| \sum_{i=1}^{n+1}x_i \right|=\left| \left( \sum_{i=1}^{n}x_i\right) +x_{n+1}\right| \le \left| \sum_{i=1}^{n}x_i \right| +\left| x_{n+1}\right|}\)

korzystając z założenia indukcyjnego (tej nierówności dla \(\displaystyle{ n}\)) w takim razie:

\(\displaystyle{ \left| \sum_{i=1}^{n}x_i \right| +\left| x_{n+1}\right| \le \sum_{i=1}^{n}\left| x_i\right| + \left| x_{n+1}\right|=\sum_{i=1}^{n+1}\left| x_i\right|}\)

zatem mam nadzieję, że z przechodniości widać, iż udało się pokazać, że:

\(\displaystyle{ \left| \sum_{i=1}^{n+1}x_i \right| \le \sum_{i=1}^{n+1}\left| x_i\right|}\)

c.b.d.u.

[Lbubsazob]

Można to nawet prościej (?) zapisać, na algebrze tak to robiliśmy:

\(\displaystyle{ (\star) \left| x_1+x_2+\ldots+x_n\right|\le\left| x_1\right|+\left| x_2\right|+\ldots+\left| x_n\right|}\)
Dla \(\displaystyle{ n=1}\): \(\displaystyle{ \left| x_1\right|\le \left| x_1\right|}\) jest prawdziwe.
Zakładamy, że dla \(\displaystyle{ n\in\mathbb{N}}\) prawdziwe jest \(\displaystyle{ (\star)}\).
Teza:
\(\displaystyle{ \left| x_1+x_2+\ldots+x_n+x_{n+1}\right|= \left| \left( x_1+x_2+\ldots+x_n\right) +x_{n+1}\right|\le \left| x_1+x_2+\ldots+x_n\right|+\left| x_{n+1}\right|\stackrel{(\star)}\le\left| x_1\right|+\left| x_2\right|+\ldots+\left| x_n\right|+\left| x_{n+1}\right|}\)
Zatem ta nierówność jest spełniona dla każdego \(\displaystyle{ n\in\mathbb{N}}\).

[adambak]

Rzeczywiście, zgrabnie..

2)
skoro dla \(\displaystyle{ n}\) mamy: \(\displaystyle{ 1+\sum_{i=1}^{n}x_i \le \prod_{i=1}^{n}\left( 1+x_i\right)}\)

to dla \(\displaystyle{ n+1}\) mamy(mnozymy obustronnie przez \(\displaystyle{ \left( 1+x_{n+1}\right)}\), możemy bo wiemy z założenia że jest dodatnie): \(\displaystyle{ \left( 1+x_{n+1}\right)\left(1+ \sum_{i=1}^{n}x_i\right) \le \prod_{i=1}^{n+1}\left( 1+x_i\right)}\)

i teraz tą sumę szacujemy z założenia indukcyjnego:
\(\displaystyle{ \left( 1+x_{n+1}\right)\left(1+ \sum_{i=1}^{n}x_i\right) \le (1+x_{n+1}) \prod_{i=1}^{n}\left( 1+x_i\right)= \prod_{i=1}^{n+1}\left( 1+x_i\right)=P}\), a więc udowodnione..