Indukcja - 2 zadania

[bacardi]

Witam, potrzebuje pomocy z takimi przykladami:

1. \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} (6i - 2) = n(3n+1)}\)

2. Dana jest rekurencyjna definicja ciagu [\(\displaystyle{ a_{n}}\)]:
\(\displaystyle{ a_{0} = 5}\), \(\displaystyle{ a_{n}}\) = \(\displaystyle{ 2a_{n-1} + 3}\)
przez indukcję należy pokazać, że wzór ogólny na n-ty wyraz ciągu jest:
\(\displaystyle{ a_{n} = 5 \cdot 2^{n} + 3(2^{n} - 1)}\)

W pierwszym doszedlem do czegos takiego:
\(\displaystyle{ n=1, 6 \cdot 1 - 2 = 1(3 \cdot 1 + 1), 4 = 4}\)
\(\displaystyle{ n=k, 6 \cdot 1 + 2 + ... + k - 2 = k(3k + 1)}\)
\(\displaystyle{ n=k+1, 6 \cdot 1 + 2 + ... + k + (k+1) - 2 = (k+1)(3k + 4)}\)
teraz nie wiem czy moge wstawic za \(\displaystyle{ 6 \cdot 1 + 2 + ... + k - 2}\) te czesc \(\displaystyle{ k(3k + 1)}\)
i zrobic cos takiego \(\displaystyle{ k(3k +1) + (k + 1) = (k+1)(3k+4)}\) i liczyc? Nie wiem czemu mi nie chce wyjsc

w drugim zadaniu
\(\displaystyle{ a_{0} = 5 \cdot 1 + 3 \cdot (1 - 1) = 5}\)

\(\displaystyle{ a_{k} = 5 \cdot 2^{k} + 3 (2^{k} - 1)}\)

\(\displaystyle{ a_{k+1}= 5 \cdot 2^{k + 1} + 3(2^{k+1} - 1)}\)
\(\displaystyle{ a_{k+1} = 2a_{k}+3}\)
\(\displaystyle{ a_{k+1} = 2(5\cdot2^{k}+3(2^{k}-1))+3}\)

W tym momencie, nie wiem co mam dalej zrobic, dziekuje za wszelka pomoc

[MadJack]

\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{k}(6i-2)=(6*1-2)+(6*2-2)+...+(6k-2)}\)
Dla k+1 masz tak samo, tyle że na końcu dajesz jeszcze \(\displaystyle{ ...+(6(k+1)-2)}\) i to wyciągasz przed sumę, za sumę do k podstawiasz \(\displaystyle{ k(3k+1)}\) i dalej już prosto.

\(\displaystyle{ a_{k+1}= 5 \cdot 2^{k + 1} + 3(2^{k+1} - 1)}\)
\(\displaystyle{ a_{k+1} = 2(5\cdot2^{k}+3(2^{k}-1))+3}\)
Porównaj te dwa i zobacz, czy wyjdzie
Powinno być dobrze :>