indukcja z iloczynem

[Rafix_]

mam problem z poniższym zadaniem

1. Udowodnić, że jeżeli iloczyn \(\displaystyle{ n}\) liczb dodatnich \(\displaystyle{ (n \ge 2)}\) jest równy \(\displaystyle{ 1}\) a suma jest nie mniejsza niż \(\displaystyle{ n}\) tzn.
Jeśli \(\displaystyle{ x_1 \cdot x_2 \cdot ... \cdot x_n =1}\) oraz \(\displaystyle{ x_i>0 \ \ \ (i=1,2,3,...,n)}\) to \(\displaystyle{ x_1+x_2+...+x_n \ge n}\)

[rsasquatch]

Trzeba skorzystać z nierówności Cauchy'ego dla średnich.

\(\displaystyle{ x_{1}+x_{2}+...+x_{n} \ge n \Leftrightarrow \frac{x_{1}+x_{2}+...+x_{n}}{n} \ge 1 \Leftarrow X_{srart} \ge X_{g} = \sqrt[n]{x_{1} \cdot ... \cdot x_{n}}= \sqrt[n]{1}=1}\)

[Rafix_]

hmm a można w jakiś inny sposób bo właśnie za pomocą tego twierdzenia chciałem udowodnić nierówność między średnimi.

[smigol]

Raczej nie powinno się tego dowodzić z nierówności między średnimi, bo jest to lemat Erdosa, który to lemat pan Erdos udowodnił, żeby ładnie i krótko wykazać prawdziwość nierówności między średnimi.

144688.htm