Zadanie na zaliczenie. Proszę o pomoc potrzebuję mieć wzór rozwiązania takiego zadania, żebym mógł liczyć inne przykłady. Podaję dwa łatwiejsze przykłady:
1.\(\displaystyle{ \sum_{n-1}^{i=1} 2 ^{i+1}= 2(2 ^{n}-2)}\)
2.\(\displaystyle{ n ^{3}< 3 ^{n}}\)
Udowodnić indukcyjnie
-
Majeskas
- Użytkownik
- Posty: 1456
- Rejestracja: 14 gru 2007, o 14:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 49 razy
- Pomógł: 198 razy
Udowodnić indukcyjnie
1. \(\displaystyle{ T: \quad \bigwedge\limits_{n\in N_+ \backslash \{1\}}\sum_{i=1}^{n-1} 2^{i+1}=2(2^n-2)}\)
Najpierw sprawdzamy, czy twierdzenie sprawdza się dla najmniejszej liczby naturalnej, dla jakiej jest określone:
n=2
\(\displaystyle{ 2^2=2(2^2-2)}\)
L=P
Zakładamy prawdziwość twierdzenia dla dowolnego k:
\(\displaystyle{ \bigwedge\limits_{k\in N_+ \backslash \{1\}}\sum_{i=1}^{k-1} 2^{i+1}=2(2^k-2)}\)
Teraz należy, korzystając z powyższego założenia, dowieść że twierdzenie jest prawdziwe dla n=k+1
\(\displaystyle{ L=\sum_{i=1}^{k} 2^{i+1}=\sum_{i=1}^{k-1} 2^{i+1}+2^{k+1}=2(2^k-2)+2^{k+1}=2 \cdot 2^k-4+2 \cdot 2^k=2(2 \cdot 2^k-2)=2(2^{k+1}-2)}\)
\(\displaystyle{ P=2(2^{k+1}-2)}\)
L=P
Komentarz:
Po sprawdzeniu twierdzenia dla n=2, z założenia prawdziwości dla n=k wynikła prawdziwość dla n=k+1, zatem na mocy zasady indukcji matematycznej twierdzenie jest prawdziwe dla każdej dodatniej liczby naturalnej nie mniejszej niż 2.
Mniej więcej coś takiego, mam nadzieję, że niczego nie pominąłem.-- 22 czerwca 2010, 01:26 --2. \(\displaystyle{ T: \quad \bigwedge\limits_{n\in N} 3^n>n^3}\)
\(\displaystyle{ n=0 \Rightarrow 3^0>0^3}\)
Prawda.
Założenie indunkcyjne:
\(\displaystyle{ \bigwedge\limits_{k\in N} 3^k>k^3}\)
Teraz korzystając z założenia dowodzimy, że nierówność zachodzi dla n=k+1:
\(\displaystyle{ 3^{k+1}>(k+1)^3}\)
W tym celu następująco przekształcimy założenie indukcyjne:
\(\displaystyle{ 3 \cdot 3^k>3k^3}\)
\(\displaystyle{ 3k^3>(k+1)^3}\)
\(\displaystyle{ k \sqrt[3]{3}>k+1}\)
\(\displaystyle{ k( \sqrt[3]{3}-1)>1}\)
\(\displaystyle{ k> \frac{1}{\sqrt[3]{3}-1}}\)
\(\displaystyle{ k> \frac{ \sqrt[3]{9}+ \sqrt[3]{3}+1 }{2} \approx 2,26}\)
Zatem:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \bigwedge\limits_{k\in N} 3 \cdot 3^k>3k^3 \\ \bigwedge\limits_{k\in N_+ \backslash \{1,2\}} 3k^3>(k+1)^3 \end{cases} \Rightarrow \bigwedge\limits_{k\in N_+ \backslash \{1,2\}} 3^{k+1}>3k^3>(k+1)^3}\)
Tym sposobem udowodniliśmy w oparciu o założenie indukcyjne, że nierówność zachodzi dla n=k+1, przy czym k musi być większe od 2. Pozostaje nam więc sprawdzić, że nierówność zachodzi także dla n=1 i n=2, aby mieć całość:
\(\displaystyle{ n=1 \Rightarrow 3^1>1^3}\)
\(\displaystyle{ n=2 \Rightarrow 3^2>2^3}\)
Czyli: po sprawdzeniu nierówności dla…, z założenia dla n=k wynikła prawdziwość dla…
Najpierw sprawdzamy, czy twierdzenie sprawdza się dla najmniejszej liczby naturalnej, dla jakiej jest określone:
n=2
\(\displaystyle{ 2^2=2(2^2-2)}\)
L=P
Zakładamy prawdziwość twierdzenia dla dowolnego k:
\(\displaystyle{ \bigwedge\limits_{k\in N_+ \backslash \{1\}}\sum_{i=1}^{k-1} 2^{i+1}=2(2^k-2)}\)
Teraz należy, korzystając z powyższego założenia, dowieść że twierdzenie jest prawdziwe dla n=k+1
\(\displaystyle{ L=\sum_{i=1}^{k} 2^{i+1}=\sum_{i=1}^{k-1} 2^{i+1}+2^{k+1}=2(2^k-2)+2^{k+1}=2 \cdot 2^k-4+2 \cdot 2^k=2(2 \cdot 2^k-2)=2(2^{k+1}-2)}\)
\(\displaystyle{ P=2(2^{k+1}-2)}\)
L=P
Komentarz:
Po sprawdzeniu twierdzenia dla n=2, z założenia prawdziwości dla n=k wynikła prawdziwość dla n=k+1, zatem na mocy zasady indukcji matematycznej twierdzenie jest prawdziwe dla każdej dodatniej liczby naturalnej nie mniejszej niż 2.
Mniej więcej coś takiego, mam nadzieję, że niczego nie pominąłem.-- 22 czerwca 2010, 01:26 --2. \(\displaystyle{ T: \quad \bigwedge\limits_{n\in N} 3^n>n^3}\)
\(\displaystyle{ n=0 \Rightarrow 3^0>0^3}\)
Prawda.
Założenie indunkcyjne:
\(\displaystyle{ \bigwedge\limits_{k\in N} 3^k>k^3}\)
Teraz korzystając z założenia dowodzimy, że nierówność zachodzi dla n=k+1:
\(\displaystyle{ 3^{k+1}>(k+1)^3}\)
W tym celu następująco przekształcimy założenie indukcyjne:
\(\displaystyle{ 3 \cdot 3^k>3k^3}\)
\(\displaystyle{ 3k^3>(k+1)^3}\)
\(\displaystyle{ k \sqrt[3]{3}>k+1}\)
\(\displaystyle{ k( \sqrt[3]{3}-1)>1}\)
\(\displaystyle{ k> \frac{1}{\sqrt[3]{3}-1}}\)
\(\displaystyle{ k> \frac{ \sqrt[3]{9}+ \sqrt[3]{3}+1 }{2} \approx 2,26}\)
Zatem:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \bigwedge\limits_{k\in N} 3 \cdot 3^k>3k^3 \\ \bigwedge\limits_{k\in N_+ \backslash \{1,2\}} 3k^3>(k+1)^3 \end{cases} \Rightarrow \bigwedge\limits_{k\in N_+ \backslash \{1,2\}} 3^{k+1}>3k^3>(k+1)^3}\)
Tym sposobem udowodniliśmy w oparciu o założenie indukcyjne, że nierówność zachodzi dla n=k+1, przy czym k musi być większe od 2. Pozostaje nam więc sprawdzić, że nierówność zachodzi także dla n=1 i n=2, aby mieć całość:
\(\displaystyle{ n=1 \Rightarrow 3^1>1^3}\)
\(\displaystyle{ n=2 \Rightarrow 3^2>2^3}\)
Czyli: po sprawdzeniu nierówności dla…, z założenia dla n=k wynikła prawdziwość dla…