Udowodnić indukcyjnie

Ze względu na specyfikę metody - osobny dział.
JAzz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11
Rejestracja: 11 gru 2008, o 15:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Leszno.Zielona Góra

Udowodnić indukcyjnie

Post autor: JAzz » 21 cze 2010, o 15:43

Zadanie na zaliczenie. Proszę o pomoc potrzebuję mieć wzór rozwiązania takiego zadania, żebym mógł liczyć inne przykłady. Podaję dwa łatwiejsze przykłady:
1.\(\displaystyle{ \sum_{n-1}^{i=1} 2 ^{i+1}= 2(2 ^{n}-2)}\)



2.\(\displaystyle{ n ^{3}< 3 ^{n}}\)
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Majeskas
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1455
Rejestracja: 14 gru 2007, o 14:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 49 razy
Pomógł: 198 razy

Udowodnić indukcyjnie

Post autor: Majeskas » 21 cze 2010, o 17:31

1. \(\displaystyle{ T: \quad \bigwedge\limits_{n\in N_+ \backslash \{1\}}\sum_{i=1}^{n-1} 2^{i+1}=2(2^n-2)}\)

Najpierw sprawdzamy, czy twierdzenie sprawdza się dla najmniejszej liczby naturalnej, dla jakiej jest określone:

n=2

\(\displaystyle{ 2^2=2(2^2-2)}\)

L=P

Zakładamy prawdziwość twierdzenia dla dowolnego k:

\(\displaystyle{ \bigwedge\limits_{k\in N_+ \backslash \{1\}}\sum_{i=1}^{k-1} 2^{i+1}=2(2^k-2)}\)

Teraz należy, korzystając z powyższego założenia, dowieść że twierdzenie jest prawdziwe dla n=k+1

\(\displaystyle{ L=\sum_{i=1}^{k} 2^{i+1}=\sum_{i=1}^{k-1} 2^{i+1}+2^{k+1}=2(2^k-2)+2^{k+1}=2 \cdot 2^k-4+2 \cdot 2^k=2(2 \cdot 2^k-2)=2(2^{k+1}-2)}\)

\(\displaystyle{ P=2(2^{k+1}-2)}\)

L=P

Komentarz:

Po sprawdzeniu twierdzenia dla n=2, z założenia prawdziwości dla n=k wynikła prawdziwość dla n=k+1, zatem na mocy zasady indukcji matematycznej twierdzenie jest prawdziwe dla każdej dodatniej liczby naturalnej nie mniejszej niż 2.

Mniej więcej coś takiego, mam nadzieję, że niczego nie pominąłem.-- 22 czerwca 2010, 01:26 --2. \(\displaystyle{ T: \quad \bigwedge\limits_{n\in N} 3^n>n^3}\)

\(\displaystyle{ n=0 \Rightarrow 3^0>0^3}\)

Prawda.

Założenie indunkcyjne:

\(\displaystyle{ \bigwedge\limits_{k\in N} 3^k>k^3}\)

Teraz korzystając z założenia dowodzimy, że nierówność zachodzi dla n=k+1:

\(\displaystyle{ 3^{k+1}>(k+1)^3}\)

W tym celu następująco przekształcimy założenie indukcyjne:

\(\displaystyle{ 3 \cdot 3^k>3k^3}\)

\(\displaystyle{ 3k^3>(k+1)^3}\)

\(\displaystyle{ k \sqrt[3]{3}>k+1}\)

\(\displaystyle{ k( \sqrt[3]{3}-1)>1}\)

\(\displaystyle{ k> \frac{1}{\sqrt[3]{3}-1}}\)

\(\displaystyle{ k> \frac{ \sqrt[3]{9}+ \sqrt[3]{3}+1 }{2} \approx 2,26}\)

Zatem:

\(\displaystyle{ \begin{cases} \bigwedge\limits_{k\in N} 3 \cdot 3^k>3k^3 \\ \bigwedge\limits_{k\in N_+ \backslash \{1,2\}} 3k^3>(k+1)^3 \end{cases} \Rightarrow \bigwedge\limits_{k\in N_+ \backslash \{1,2\}} 3^{k+1}>3k^3>(k+1)^3}\)

Tym sposobem udowodniliśmy w oparciu o założenie indukcyjne, że nierówność zachodzi dla n=k+1, przy czym k musi być większe od 2. Pozostaje nam więc sprawdzić, że nierówność zachodzi także dla n=1 i n=2, aby mieć całość:

\(\displaystyle{ n=1 \Rightarrow 3^1>1^3}\)

\(\displaystyle{ n=2 \Rightarrow 3^2>2^3}\)

Czyli: po sprawdzeniu nierówności dla…, z założenia dla n=k wynikła prawdziwość dla…

ODPOWIEDZ