Dowód Indukcyjny

[tights_tights]

Dowieść, że dla dowolnej liczby naturalnej n zachodzi równość:

\(\displaystyle{ \frac{1}{3}+ \frac{1}{15}+ \frac{1}{35}+ \frac{1}{63}+....+ \frac{1}{4n ^{2}-1 }= \frac{n}{2n+1}}\)

[tights_tights]

L= \(\displaystyle{ \frac{n}{2n+1}+ \frac{1}{4(n+1) ^{2}-1 }}\)

P=\(\displaystyle{ \frac{n+1}{2(n+1)+1}= \frac{n+1}{2n+3}}\)

Jak dodac te wyrazy krok po kroku z (L) tak aby powstało (P)

[zati61]

\(\displaystyle{ Z: \frac{1}{3}+ \frac{1}{15}+ \frac{1}{35}+ \frac{1}{63}+....+ \frac{1}{4n ^{2}-1 }= \frac{n}{2n+1} \\
T: \ \frac{1}{3}+ \frac{1}{15}+ \frac{1}{35}+ \frac{1}{63}+....+ \frac{1}{4n ^{2}-1 }+ \frac{1}{4(n+1)^2-1} = \frac{n+1}{2n+3}\\
D: L= \frac{n}{2n+1} + \frac{1}{4(n+1)^2-1} = \text{jeden ulamek/poprzeksztalcaj/poskracaj}...= \frac{n+1}{2n+3}=P}\)

[tights_tights]

Jakbym wiedział jak wlasnie trzeba po przeksztalcac, po skracac to bym nie pisal z zapytaniem jak to zrobic.

[zati61]

dobra napisze:
\(\displaystyle{ \frac{n}{2n+1} + \frac{1}{4(n+1)^2-1}= \frac{4n^3+8n^2+5n+1}{2(n+ \frac{3}{2}) \cdot 4(n+ \frac{1}{2})^2}= \frac{(n+1)4(n+ \frac{1}{2} )^2}{2(n+ \frac{3}{2}) \cdot 4(n+ \frac{1}{2})^2}= \frac{n+1}{2n+3}}\)