Kilka zadań z indukcji

[coder89]

Witam.
Przygotowuję się do kolokwium i mam problem jeszcze z kilkoma zadaniami. Bardzo proszę o pomoc.

Zadanie 1

\(\displaystyle{ 9\ |\ 2^{2n+1}+3n+7}\)

W rozwiązaniu doszedłem do czegoś takiego:
Założenie:
\(\displaystyle{ 2^{2n+1}+3n+7 = 9p \ gdzie\ p\in Z}\)
Teza: (już po przekształceniu
\(\displaystyle{ 2^{2n+2}+3(n+1)+7\ =\ 4 \cdot 2^{2n+1}+3n+3+7\ =\ 9p + 3 \cdot (2^{2n+1} +1))}\)
i co teraz z tym ostatnim zrobić aby wykazać że jest to podzielne przez 9?

Zadanie 2

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n+k} = \sum_{k=1}^{2n} \frac{(-1)^{k+1}}{k}}\)

Tutaj to wogóle nie wiem jak się za to zabrać... Cały czas jakieś cherezje mi wychodzą więc bardzo proszę w miarę możliwości o rozwiązanie tego zadania bo już siedzę nad nim godzinę i zero pomysłu.

Zadanie 3

\(\displaystyle{ 8\ |\ 5^{n+1}+2 \cdot 3^{n} + 1}\)

W przekształconej tezie otrzymałem coś takiego:
\(\displaystyle{ \left[ 5^{n+1} + 2 \cdot 3^n + 1 \right] + 4 \cdot \left( 5^{n+1} + 3^n \right)}\)

I co teraz z tym ostatnim zrobić?
Wystarczy jak powiem że suma 2 liczb nieparzystych jest parzysta więc podzielna przez 2 czyli calość podzielna przez 4x2 = 8 ?

Z góry dziękuję za pomoc. Pozdrawiam.

[czekoladowy]

Zadanie 1
Mamy do pokazania :
\(\displaystyle{ 9\ |\ 2^{2n+1}+3n+7}\)
1) Dla \(\displaystyle{ n_0=1}\) podzielność jest oczywista.
2) Krok indukcyjny.

Pokaże, że \(\displaystyle{ 9\ |\ 2^{2n+1}+3n+7 \Rightarrow 9\ |\ 2^{2n+3}+3n+10}\)

\(\displaystyle{ 2^{2n+1}+3n+7=9p}\) , \(\displaystyle{ p\in Z}\)
\(\displaystyle{ 2^{2n+3}+3n+10=4\cdot2^{2n+1}+3n+10=\underbrace{2^{2n+1}+3n+7}_{9p}+3\cdot2^{2n+1}+3 \Rightarrow9\ |\ 3\cdot2^{2n+1}+3 \Rightarrow3\ |\ 2^{2n+1}+1 \hbox{, a to już nie powinno byc problemem}}\)

Zadanie 3
Pokaże , ze \(\displaystyle{ 8\ |\ 5^{n+1}+2 \cdot 3^{n} + 1 \Rightarrow8\ |\ 5^{n+2}+2 \cdot 3^{n+1} + 1}\)
\(\displaystyle{ 5^{n+1}+2 \cdot 3^{n} + 1=8t \ \hbox{,gdzie t\ \in Z}}\)
\(\displaystyle{ 5^{n+2}+2 \cdot 3^{n+1} + 1=5\cdot5^{n+1}+6\cdot3^{n}+1=\underbrace{5^{n+1} \cdot 3^{n} + 1}_{8t}+4\cdot5^{n+1}+4\cdot3^2 \Rightarrow8\ | \ 4\cdot5^{n+1}+4\cdot3^2 \Rightarrow2\ |\ 5^{n+1}+3^n\hbox{a to mozna wytlumaczyc bez indukcji}}\)

\(\displaystyle{ \hbox{PS. Chodze dopiero do 1LO i jeszcze sie nie przyzwyczailem do zapisu sum, rozpisz je a wtedy pomysle nad zadaniem 2. }}\)

[coder89]

No i właśnie tutaj jest problem bo nie wiem jak wykazać, że:
\(\displaystyle{ 3\ |\ 2^{2n+1} + 1}\)

Zadanie 2 (rozpisane):
\(\displaystyle{ \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + ... + \frac{1}{2n} = \frac{(-1)^2}{1} + \frac{(-1)^3}{2} + ... + \frac{(-1)^{n+1}}{n}}\)
Być może w tym zadaniu jest błąd i dlatego się tak nie da rozpisać? (bo w tym zbiorze z którego to pochodzi już parę błędów było ) Jeśli tak to może ktos wie jak to powinno wyglądać zeby się dalo udowodnić

[czekoladowy]

\(\displaystyle{ 3\ |\ 2^{2n+1} + 1}\)
1) Dla \(\displaystyle{ n_0=1}\)mamy \(\displaystyle{ 2^{2+1}+1=8+1=9=3\cdot3}\)
2) Teraz pokaże,ze \(\displaystyle{ T(n) \Rightarrow T(n+1)}\)

\(\displaystyle{ 2^{2n+1} + 1=3t}\)
\(\displaystyle{ 2^{2n+3} + 1=4\cdot2^{2n+ 1}+1=3\cdot2^{2n+1}+2^{2n+1} + 1=3\cdot2^{2n+1}+3t}\)

Chyba starczy

------------------------
A na zadanie 2 nie mam pomysłu .... (dla n=1 chyba \(\displaystyle{ L_1 \neq P_1}\))

[coder89]

jest równe tylko, że po prawej stronie musisz brać po 2 wyrazy bo w znaku sumy jest 2n (troszke źle to rozpisałem nie uwzględniając że w symbolu sumy jest 2n)